重庆市第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 1或3
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
3. 已知命题，；命题，，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
4. 设函数，，，则可以是（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
5. 已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（ ）
A. 2B. C. 1D.
6. 已知一组统计数据，，满足：，，则这组数据的标准差等于（ ）
A. B. 1C. D. 2
7. 已知集合，且，则集合，，所有可能的情况种数为（ ）
A. 216B. 200C. 27D. 25
8. 对，设是关于方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（ ）
A. 1012B. 1013C. 2022D. 2025
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）.
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B.
C. 当时，除以8的余数是1
D. 展开式中二项式系数最大项为第3项
10. 在棱长为2正方体中，点在线段上运动（包括端点），点平面，且与所成角是，则下列正确的选项有（ ）
A.
B. 点的轨迹是双曲线
C. 最小值为4
D. 直线与平面所成角的最小值为
11. 已知函数，，则下列正确的选项有（ ）
A. 若的定义域为，则的定义域为
B. 若函数是增函数，则实数取值范围为
C. 当时，若是函数与函数的交点，则
D. 若，则的最大值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是等差数列，，，则的前11项和为_______________.
13. 已知，，，则的最小值为_______________.
14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点，若，点满足，且，则双曲线的离心率为_______________.
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.
（1）证明：；
（2）若，，求的值.
16. 自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”，“生二孩能休多久产假”等问题成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：
（1）请用相关系数说明该组数据中变量与之间的关系可以用线性回归模型拟合，并求关于的线性回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数的分布列和数学期望.
附：①样本相关系数，当时，相关性较强，当时，相关性一般；
②经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；
③，，.
17. 已知抛物线焦点为，点与圆上点的距离的最小值为4.
（1）求的方程；
（2）已知的三个顶点都在抛物线上，且的重心为点.
①若直线的斜率为2，求的周长；
②求的面积的最大值.
18. 如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且，点为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 如果数列中存在四项，，，，使得（，，，互不相同），则称数列为稳健数列.
（1）若数列是项数为5的正项等比数列，且是稳健数列，求的公比的个数；
（2）若数列的项数为6，且，从中任意取出四项组成一个数列，求该数列为稳健数列的频率；
（3）若数列为等差数列，且公差不为0，从中任意取出四项组成一个数列，该数列为稳健数列的概率超过，求数列的项数的最大值.
【参考公式：】
产假安排（单位：周）
14
15
16
17
18
有生育意愿家庭数（单位：户）
4
8
16
20
26