2025--2026学年广东省惠州市惠阳区第七中学附属小学九年级上册12月月考数学试题【附答案】

这是一份2025--2026学年广东省惠州市惠阳区第七中学附属小学九年级上册12月月考数学试题【附答案】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.x2+1x=2B.x2+xy−3=0C.x2+3x=4D.x+3(x−2)=5x

2.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.

3.从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为( )
A.11000B.1200C.12D.15

4.抛物线y=(x+2)2−4的顶点坐标是（ ）
A.(2,4)B.(2,−4)C.(−2,4)D.(−2,−4)

5.新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（ ）
A.x+x1+x=64B.1+x+x2=64C.(1+x)2=64D.x1+x=64

6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，它的对称轴是直线x=−1，与x轴的一个交点为(2,0)，则与x轴的另一个交点为（ ）
A.（－2，0）B.（－3，0）C.（ −3.5,0 ）D.（－4，0）

7.如图，AB是◯O的直径，若∠CDB=60∘，则∠ABC的度数等于（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

8.如图所示，△ABC的内切圆◯O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=6，BE=4，CF=8，则△ABC的周长为（ ）
A.36B.38C.40D.42

9.如图，正六边形ABCDEF内接于◯O，OA=1，则AB的长为（ ）
A.2B.3C.1D.12

10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(6,0)，顶点坐标为(2,−4)，结合图象分析如下结论：① abc>0；②当04ac．其中正确的有（ ）
A.① ②B.① ③C.② ③D.② ④
二、填空题

11.若x1，x2是一元二次方程x2+x−2=0的两个实数根，则x1+x2−x1x2的值为________________．

12.将抛物线y=3x2，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式是________________．

13.有长度分别为2cm，3cm，4cm，7cm的四条线段，任取其中三条能组成三角形的概率是________．

14.如图，AB为◯O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=8，OE=3，则◯O的半径为________．

15.如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为2的正方形OCDE的顶点分别在半径OA、OB和弧AB上．则阴影部分的面积为________________．
三、解答题

16.解下列方程：
（1）(x+1)2−81=0．
（2）x2+4x−5=0．

17.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为(x,y)．
（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
（2）求点M(x,y)在函数y=−x+1的图象上的概率．

18.如图，AB是◯O的弦，C是◯O外一点，BC是◯O的切线，AB交过C点的直径于点D，OA⊥CD，试判断△BCD的形状，并说明你的理由．

19.第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元(x>40)．
（1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式．
（2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？

20.在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为8m，双向行驶车道宽度为6m（路面两侧各预留1m给非机动车），隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？

21.如图，在Rt △ABC中，∠C=90∘，BD平分∠ABC，交AC于点D,O是斜边AB上一点，以点O为圆心，OB的长为半径的◯O恰好经过点D．

（1）求证：AC是◯O的切线；
（2）若BC=3,CD=32，求◯O的半径．

22.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C,D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
(1)猜想如图1中线段BG，线段DE的数量关系是______ ；线段BG，DE的位置关系____
类比探究：
(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形，请你判断(1)①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；
拓展应用：
(3)已知AB=5，CE=2，在正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当点D,E,G在同一条直线上时，DG的长度是多少？请直接写出答案

23.综合与探究：运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．
在大自然里，有很多数学的奥秘．一片美丽的心形叶片（图1）、一棵生长的幼苗（图2）都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
【任务二】研究心形叶片的宽度：
（2）如图3，心形叶片的对称轴直线y=x+2与坐标轴交于A,B两点，抛物线与x轴交于另一点C，点C,C1是叶片上的一对对称点，CC1交直线AB于点G．求叶片此处的宽度CC1；
【任务三】探究幼苗叶片的长度
（3）小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y=−ax2+4ax+4a+1图象的一部分；如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应任务一中的二次函数．已知直线PD（点P为叶尖）与水平线的夹角为45∘，求幼苗叶片的长度PD．
参考答案与试题解析
2025-2026学年广东省惠州市惠阳区第七中学附属小学九年级上学期12月月考数学试题
一、单选题
1.
【答案】
C
【解析】
本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析判断，即可求解。只含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.
【解答】
解：A. x2+1x=2 ，含有分式，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. x2+xy−3=0 ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. x2+3x=4 ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D. x+3(x−2)=5x ，是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
2.
【答案】
D
【解析】
本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据中心对称图形的定义进行逐项判断即可．
【解答】
A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意，
故选：D．
3.
【答案】
B
【解析】
由从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】
解：∵ 从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查，结果发现有5个是次品，
∴ 从中任取1个是次品概率约为：51000=1200．
故选B．
4.
【答案】
D
【解析】
本题主要考查了求二次函数顶点坐标，对于二次函数y=a(x−h)2+k(a≠0)，其顶点坐标为(h,k)，据此可得答案．
【解答】
解：抛物线y=(x+2)2−4的顶点坐标是(−2,−4)，
故选：D．
5.
【答案】
C
【解析】
由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x(1+x)人被传染，根据经过两轮传染后有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】
解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中共x人被传染，第二轮传染中共x(1+x)人被传染．
依题意得1+x+x(1+x)=64，
即1+x2=64．
故选：C．
6.
【答案】
D
【解析】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确利用抛物线的对称性分析是解题关键．直接利用抛物线的对称性进而得出另一个交点坐标.
【解答】
解： ∵抛物线的对称轴是直线 x=-1，与x轴的一个交点是（2，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是：（-4,0）.
故选：D.
7.
【答案】
A
【解析】
本题考查了直径所对的圆周角为直角, 同弧或等弧所对的圆周角相等. 根据直径所对的圆周角为直角得到 ∠ACB=90∘ , 同弧或等弧所对的圆周角相等得到 ∠CDB=∠A=60∘ , 进一步计算即可解答.
【解答】
解： ∵AB 是 ⊙O 的直径,
∴∠ACB=90∘, ∵∠CDB=60∘, ∴∠A=∠CDB=60∘, ∴∠ABC=90∘−∠A=30∘,
故选：A.
8.
【答案】
A
【解析】
本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的关键．由切线长定理可知 AD=AF，BD=BE，EC=FC，再根据线段的和差即可求得答案.
【解答】
解： ∵ΔABC的内切圆 ⊙O分别与AB，BC，ACAC相切于点D，E，F，
∴AD=AF BD=BE EC=FC,
∵AD=6 BE=4 CF=8,
∴AF=6 BD=4 CE=8,
∴BC=BE+EC=12 AB=AD+BD=10 AC=AF+FC=14,
∴ΔABC的周长 =BC+AB+AC=36.
故选：A.
9.
【答案】
C
【解析】
本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到 ∠AOB=60∘ ，得到 ΔAOB为等边三角形，进而得到 OA=AB=1 ，判断出 ΔAOB为等边三角形是解题的关键.
【解答】
解： ∵ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360∘6=60∘,
∵OA=OB,
∴ΔAOB为等边三角形，
∴OA=AB=1,
故选：C.
10.
【答案】
B
【解析】
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．由题意得到抛物线的开口向上，对称轴−b2a>0，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到abc>0，即可判断①；根据函数性质即可判断②；根据抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1,0)和(1,0)时，y40)
若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元
【解析】
（1）根据销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件求出销售量即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售量列出方程求解即可．
【解答】
（1）解：由题意得：y=550−10(x−45)=1000−10x(x>40)；
（2）解：由题意得：(x−30)(1000−10x)=10000，
整理得：x2−130x+4000=0，
解得x=50或x=80，
答：若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元．
20.
【答案】
y=−14x2+4
通过隧道的车辆应限制高度为3.25m
【解析】
（1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）将x=3代入解析式，求得y的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m，结合函数图象，即可求解．
【解答】
（1）解：如图所示，
隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m．
∴顶点坐标为(0,4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+4，
将点(4,0)代入，得，
0=16a+4，
解得：a=−14，
∴抛物线解析式为y=−14x2+4；
（2）解：依题意，当x=3时，y=−14×32+4=1.75，
∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有0.5m．
∴通过隧道的车辆应限制高度为2+1.75−0.5=3.25m，
答：通过隧道的车辆应限制高度为3.25m
21.
【答案】
见解析
⨀ O的半径为 158
【解析】
（1）连接 OD，利用角平分线的定义结合等边对等角求得 ∠CBD=∠ODB ，推出 OD ∥BC ，据此即可证明结论成立；
（2）作 OF⊥BC ，设 ⊙O的半径为x，证明四边形ODCF是矩形，推出 CF=OD=x ，BF=3-x，在Rt ΔBOF中，利用勾股定理列式计算即可求解.
【解答】
（1）证明：连接 OD，
∵BD平分∠ABC,
∴∠OBD=∠CBD,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∴∠CBD=∠ODB,
∴OD∥BC,
∵∠C=90∘
∴∠ODC=90∘,
∴AC是 ◯ O的切线；
（2）解：作 OF⊥BC ，垂足为F，
设 ⊙O的半径为x，则 OB=OD=x,
∵∠C=90∘,∠ODC=90∘,OF⊥BC,
∴四边形 ODCF是矩形，
∴OF=CD=32,CF=OD=x,
∴BF=3−x,
在Rt ΔBOF中， BF2+OF2=OB2
即 (3−x)2+322=x2,
解得 x=158,
∴⊙O的半径为 158.
22.
【答案】
BG=DE，BG⊥DE；(2)(1)中得到的结论仍然成立，证明见解析；(3)23−2或23+2．
【解析】
由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，可得BC=DC，CG=CE， ∠BCD=∠ECG=90∘，进而得∠BCG=∠DCE，即可由SAS证明△BCG≅△DCE，得到BG=DE，延长BG交DE于点H，由全等三角形的性质得到∠CBG=∠CDE，进而得到∠CDE+∠DGH=90∘，得到∠DHG=90∘，即得BG⊥DE；
(2)(1)中得到的结论仍然成立，同理(1)证明即可求证；
(3)根据题意，画出图形，分两种情况解答即可求解；
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．
【解答】
解：(1)∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE， ∠BCD=∠ECG=90∘，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
BC=DC∠BCG=∠DCECG=CE ，
∴△BCG≅△DCESAS，
∴BG=DE，
延长BG交DE于点H，
∵△BCG≅△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠CBG+∠BGC=90∘，
∴∠CDE+∠DGH=90∘，
∴∠DHG=90∘，
∴BH⊥DE，
即BG⊥DE，
故答案为：BG=DE，BG⊥DE；
(2)(1)中得到的结论仍然成立，在图2中证明如下：
∵四边形ABCD、四边形CEFG都是正方形，
∴BC=CD，CG=CE， ∠BCD=∠ECG=90∘，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG≅△DCESAS，
∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90∘，
∴∠CDE+∠DHO=90∘，
∴∠DOH=90∘，
∴BG⊥DE；
(3)当正方形CEFG绕点C旋转到如图位置时，
连接CF与DE相交于点O，
∵四边形CEFG是正方形，
∴CF⊥GE，OG=OC，CG=CE=2，
∴∠COD=90∘，
∴OG=OC=2，
∵AB=5，
∴CD=5，
∴DO=CD2−OC2=52−22=23，
∴DG=DO−OG=23−2；
连接BD，
由(1)(2)可知，BG=DE，BG⊥DE，
∴BG⊥DG，
∴∠BGD=90∘，
∵AB=5，CE=2，
∴BD=52+52=52，EG=22+22=22，
设BG=DE=x，则DG=x+22，
在Rt△BGD中，BG2+DG2=BD2，
∴x2+x+222=522，
解得x1=23−2，x2=−23−2（不合，舍去），
∴DE=23−2，
∴DG=DE+EG=23−2+22=23+2；
综上，DG的长为23−2或23+2．
23.
【答案】
y=14(x−2)2−1；(2,−1)
62
42
【解析】
（1）把原点(0,0)代入解析式y=−ax2+4ax+4a+1，求得a值，将抛物线化成顶点式即可确定顶点D的坐标；
（2）先根据抛物线确定点C(4,0)，再确定A，B的坐标，得到△AOB是等腰直角三角形，且∠BAO=45∘，由对称的性质得CC1⊥AB,CC1=2CG，再根据等腰直角三角形的性质得到CG=AC2，进行计算求解即可；
（3）设P的坐标为n,14n2−n，则n