江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题含答案

这是一份江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 在每小题给出的四个选项 中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集 U={1,2,3,4,5,6},A=x x2−2x−8≤0,x∈N∗ ,则 ∁UA= ( )
A. {0,5,6} B. {−2,−1,0,5,6} C. {5,6} D. {1,5,6}
2. i 是虚数单位, 5i2−i=
A. 1+2i B. −1−2i C. 1−2i D. −1+2i
3. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为坐标原点,点 P 在椭圆 C 上且位于第一象限,直线 PO 与椭圆 C 的另一个交点为 A ,直线 PF2 与椭圆 C 的另一个交点为 B . 若直线 AB 平行于 x 轴,且 PF1=3PF2 ,则椭圆 C 的离心率为 ( )
A. 12 B. 22 C. 32 D. 24
4. 锐角 △ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 b2=aa+c ,则 3sinB−A+csA 范围为( )
A. 3,6+22
B. 6+22,2
C. 1,2
D. 1,6+22
5. 已知 fx=x2 ,若 gx=f1−x2 ,则 gx ( )
A. 在区间 0,1 内递减 B. 在区间 −1,0 内递减
C. 在区间 −∞,0 内递增 D. 在区间 0,+∞ 内递增
6. 已知角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边上一点 A2sinα,3 ,则
A. 12 B. −12
C. 32 D. −32
7. 已知函数 fx ， gx 的定义域均为 R ， fx+1 是奇函数，且 f1−x+gx+1=4 ， fx+gx−2=4 ，则下列结论正确的是( )
A. fx 为奇函数
B. gx 为奇函数
C. k=19fk−gk=36
D. k=19fk+gk=36
8. 在正四面体 D−ABC 中,点 E 在棱 AB 上,满足 AE=2EB ，点 F 为线段 AC 上的动点， 则( )
A. 存在某个位置,使得 DE⊥BF
B. 存在某个位置,使得 ∠FDB=π4
C. 存在某个位置,使得直线 DE 与平面 DBF 所成角的正弦值为 714
D. 存在某个位置,使得平面 DEF 与平面 DAC 夹角的余弦值为 32
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分, 在每小题给出的四个选项 中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错 的得零分.
9. 甲、乙两班参加某次数学调研测试, 相关统计数据如下表所示(满分 150 分, 120 分以上为优秀), 则下列结论正确的是 ( )
A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B. 甲班成绩波动比乙班成绩波动大
C. 甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数
D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
10. 对于函数 fx=12sinx+csx−12csx−sinx ,下列说法错误的是 ( )
A. 函数 fx 的值域是 −1,1
B. 当且仅当 2kπ0,a>1 ,过点 A1x1,fx1 作曲线 y=fx 的切线交 x 轴于点 B1x2,0 ,过点 A2x2,fx2 作曲线 y=fx 的切线交 x 轴于点 B2x3,0 ,依此类推,得到 Anxn,fxn,Bnxn+1,0 ,则 ( )
A. 数列 xn 是等差数列
B. 当 a>3e 且 xn>0 时, xn+1>lnxn−2
C. AnBn⋅An+2Bn+20 的离心率为 233 .
(1)求双曲线 C 的方程.
(2)直线 y=kx+mkm≠0 与该双曲线 C 交于不同的两点 M、N ，且 M、N 两点都在以
点 A0,−1 为圆心的同一圆上,求 m 的取值范围.
19. 已知函数 fx=eax−lnx+1 a>0 .
(1)当 a=1 时，讨论 fx 的单调性；
(2)已知 Ax1,y1 ， Bx2,y2 为曲线 y=fx 上任意两点，且 A ， B 关于点 0,b 对称.
(i) 求 b 的取值范围;
(ii) 若 x1−x2y1−y2≤0 ,求 a 的取值范围.
1. C
因为 A=x x2−2x−8≤0,x∈N∗=x −2≤x≤4,x∈N∗={1,2,3,4} , 所以 ∁UA={5,6} .
故选: C.
2. D
由题意得, 5i2−i=5i2+i2−i2+i=−1+2i ,故选 D.
3. B
由椭圆的对称性,知点 A 与点 P 关于原点对称.
因为直线 AB 平行于 x 轴,所以点 B 与点 A 关于 y 轴对称,
所以点 P 与点 B 关于 x 轴对称,即 PF2 垂直于 x 轴,所以可设 Pc,y0,y0>0
将 Pc,y0 代入椭圆方程得 y0=b2a ,即 PF2=b2a .
又 PF1=3PF2 ,所以 PF1=3b2a .
又 PF1+PF2=2a ,所以 2a=3b2a+b2a ,即 b2a2=12 ,
所以椭圆 C 的离心率 e=ca=1−b2a2=22 .
故选: B.

4. A
因为 b2=aa+c ,所以 b2=a2+ac ,
由余弦定理得: b2=a2+c2−2accsB ,
所以 a2+c2−2accsB=a2+ac ,所以 a+2acsB=c ,
由正弦定理得 sinA+2sinAcsB=sinC ,因为 C=π−A+B ,
所以 sinA+2sinAcsB=sinA+B=sinAcsB+csAsinB ,
即 sinA=sinB−A ,
因为 △ABC 是锐角三角形,所以 A,B∈0,π2 ,
所以 A=B−A ,即 B=2A ,
所以 00,aeate2at−1>0 ,所以 F′t>0 ,
所以 Ft 在区间 0,1 上单调递增,所以 2b>F0=2 ,即 b>1 .
下面证明 b∈1,+∞ ,即证 ∀b∈1,+∞,Ft=2b 有解,
记 Gt=Ft−2b ,则 G0=2−2b−ln1−1−e−2b−2b=0 ,
所以 ∃t2∈0,t1 ,使得 Gt2=0 ,所以 b∈1,+∞ .
(ii) 由题意可得 2tft−f−t≤0 ,即 ft−f−t≤0 .
记 ht=ft−f−t=eat−e−at−ln1+t1−t, h0=0 ,
则 h′t=aeat+e−at−21−t2,h′0=2a−2 .
记 mt=et−t−1 0t+1 ,即 e−t>1−t ,即 et