江西省上犹中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题含答案

这是一份江西省上犹中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题含答案，共15页。
一、单选题本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只有 一项符合题目要求.
1. 已知直线 l 经过点 A−2,0,B−5,3 ，则下列选项中正确的是( )
A. 直线 l 的斜率为 1 B. 直线 l 的倾斜角为 π4
C. 直线 l 的方向向量为 1,−1 D. 直线 l 在 y 轴上的截距为 2
2. 抛物线 y=2x2 的焦点坐标是( )
A. 0,18 B. 0,12 C. 18,0 D. 12,0
3. 设离散型随机变量 X 的分布列如表,若离散型随机变量 Y 满足 Y=2X+1 ,则下列结果错误的是( )
A. EX=0.4 B. DX=0.24 C. EY=1.8 D. DY=0.48
4. 如图,已知三棱锥 A−BCD,M 为 BC 中点， N 为 DM 中点，则 AN= ()

A. 14AB+12AC+14AD B. 13AB+13AC+13AD
C. 12AB+13AC+14AD D. 14AB+14AC+12AD
5. 由0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数,其中任意两个偶数都不相邻,则满足条件的六位数的个数为( )
A. 60 B. 108 C. 132 D. 144
6. 2023 年 12 月 30 日，在江西省第四届县域社会足球赛(江西“县超”)总决赛上，上犹县队战胜南昌县队，成功捧起冠军奖杯体育赛事的持续火爆，带动了县域特色产业发展，“跟着赛事游上犹”成为响亮名片. 根据以往的数据统计, 甲球员能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置,且出场率分别为0.2,0.5,0.3,当甲球员担当前锋、中锋以及后卫时,球队输球的概率依次为0.4,0.2,0.8. 请问当甲球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为 ( )
A. 0.42 B. 0.68 C. 0.58 D. 0.64
7. 已知棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 ，动点 M 是 △A1BC1 内部一点(含边界)，则动点 M 到点 D 的距离的最小值为( )
A. 33 B. 233 C. 3
D. 433
8. 点 A,B 是圆 C1:x−22+y−m2=4 上两点, AB=23 ,若在圆 C2:x−22+y+12=9 上存在点 P 恰为线段 AB 的中点,则实数 m 的取值范围为( )
A. −5,−3∪1,3 B. −3,−1∪3,5 C. 1,3 D. 3,5
二、多选题本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求.
9. 已知空间向量 a=2,2,2,b=−1,−1,1,c=−2,1,1 ，则下列结论正确的是( )
A. a//b B. b−c=5 C. b⋅c=2 D. a,b,c 是共面向量
10. 若 1−2x2026=a0+a1x+a2x2+⋯+a2026x2026 ,则下列选项正确的有( )
A. a1=−4052 B. 展开式中所有项的二项式系数的和为 22026
C. 奇数项的系数和为 1−320262 D. a12+a222+a323+⋯+a202622026=−1
11. 平面内定点 F1−1,0,F21,0 ,记动点 P 的轨迹为曲线 C ,过 F2 的直线与 C 交于 A,B 两点，则以下结论正确的有( )
A. 若 PF1+PF2=4 ，则 △PF1F2 面积的最大值为 3
B. 若 PF1−PF2=45 则 ABmin=215
C. 若 PF1=2PF2 ,则 ABmin=4
D. 若 PF1⋅PF2=2 ,则曲线 C 围成的图形面积不超过 43
三、填空题.本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知随机变量 X 服从正态分布 N3,σ2 . 若 PX>4=0.36 ,则 P2≤X≤4= _____.
13. 已知 A,B,F 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右顶点,上顶点和右焦点,若过 A,B,F 三点的圆恰与 y 轴相切,则 C 的离心率为_____.
14. 诗句“风景这边独好”洋溢着诗人对江西山水的喜爱. 现有甲、乙、丙等 6 人前往江西上犹“阳明湖”、崇义“阳岭”和大余“丫山”三个景点旅游，已知每人随机只去其中一个景点，每个景点至少有一人选择，则甲乙不去同一个景点且丙一定去上犹“阳明湖”旅游的概率为_____.
四、解答题.本题共 5 小题, 共 77 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆与直线 x−3y−4=0 相切
(1)求圆 O 的方程；
(2)若已知点 P3,2 ，过点 P 作圆 O 的切线，求切线的方程.
16. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的焦点与椭圆 x26+y2=1 的焦点重合,其渐近线方程为 y=±12x .
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)过点 M1,1 的直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A,B ，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程.
17. 2022 年端午期间, 某百货公司举办了一次有奖促销活动, 顾客消费满 600 元 (含 600 元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(只能选择其中的一种).
方案一:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 2 个，黑球 8 个)的抽奖盒中， 有放回摸出 3 个球, 每摸到 1 次红球, 立减 200 元.
方案二:从装有 10 个形状，大小完全相同的小球(其中红球 2 个，白球 1 个，黑球 7 个) 的抽奖盒中, 不放回摸出 3 个球, 中奖规则为: 若摸到 2 个红球, 1 个白球, 享受免单优惠; 若摸出 2 个红球和 1 个黑球则打 5 折；若摸出 1 个红球，1 个白球和 1 个黑球，则打 7.5 折； 其余情况不打折.
(1)某顾客恰好消费 600 元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和期望；
(2)若顾客消费 1000 元，试从实付金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理？
18. 如图所示,在四棱锥 P−ABCD 中,底面四边形 ABCD 是菱形, AC∩BD=O,△PAC 是边长为 2 的等边三角形, PB=PD=6,AP=4AF .

(I) 求证: PO⊥ 底面 ABCD ;
(II) 求直线 CP 与平面 BDF 所成角的大小;
(III) 在线段 PB 上是否存在一点 M ,使得 CM// 平面 BDF ? 如果存在,求 BMBP 的值,如果不存在, 请说明理由.
19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左，右焦点分别为 F1,F2 ，其离心率为 12 ，过点 F1 且与 x 轴垂直的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,且 OA=132,O 为坐标原点.
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)已知过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,抛物线 E:y2=4x
(i) 若直线 l 与抛物线 E 交于 M,N 两点,且 S△F1PQ=S△OMN ,求直线 l 的方程.
(ii) 若直线 l 与 y 轴正半轴交于点 G ,求 PG+QGGF2 的取值范围.
1. C
设直线的倾斜角为 θ,0≤θ0 的焦点坐标为 0,p2 ,
由 2p=12 得, p=14 ,所以此抛物线的焦点坐标为 0,18 .
故选: A.
3. D
由分布列的性质可得, m=0.4 ,则 EX=0×0.6+1×0.4=0.4 ,故 A 正确;
DX=0−0.42×0.6+1−0.42×0.4=0.24 ,故 B 正确,
∵Y=2X+1,∴EY=E2X+1=2EX+1=2×0.4+1=1.8 ,故 C 正确,
∴DY=D2X+1=22DX=4×0.24=0.96 ,故 D 错误.
4. D
因为 N 为 DM 中点,所以 AN=12AD+12AM ,
因为 M 为 BC 中点,所以 AM=12AB+12AC ,
则 AN=12AD+1212AB+12AC=14AB+14AC+12AD .
故选: D
5. B
先排 3 个奇数,有 A33=6 种排法,
排完奇数后形成 4 个空,插入余下 3 个偶数,有 A43=24 种排法,
但此时 0 放在首位的情况有 A32=6 种,故满足条件的排法有 6×24−6=108 .
故选: B
6. C
设事件 A1 表示“甲球员担当前锋”,事件 A2 表示“甲球员担当中锋”,
事件 A3 表示“甲球员担当后卫”，事件 B 表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”.
则 PB=PA1PB∣A1+PA2PB∣A2+PA3PB∣A3
=0.2×0.4+0.5×0.2+0.3×0.8=0.42 ,
所以当甲球员参加比赛时,该球队这场比赛不输球的概率为 1−0.42=0.58 .
7. D
由题意, BD⊥AC,BB1⊥ 平面 ABCD,AC⊂ 平面 ABCD ,则 BB1⊥AC , 又 BB1∩BD=B,BB1,BD⊂ 平面 BB1D ,于是 AC⊥ 平面 BB1D ,
而 B1D⊂ 平面 BB1D ,则 AC⊥B1D ,
同理 AD1⊥B1D ,又 AC∩AD1=A,AC,AD1⊂ 平面 ACD1 ,
因此 B1D⊥ 平面 ACD1,B1D⊥ 平面 A1BC1 ,
设点 B1 到平面 A1BC1 的距离为 d ,
由 VB1−A1BC1=VA1−BB1C1 ,得 13×34×222d=13×12×23 ,解得 d=23 ,
同理点 D 到平面 ACD1 的距离为 23 ，而 B1D=23 ，故点 M 到点 D 的距离的最小值为 23−23=433.

8. A
圆 C1:x−22+y−m2=4 ,圆心 C12,m ,半径 r=2 ,
圆 C2:x−22+y+12=9 ,圆心 C22,−1 ,半径 r2=3 ,
由 P 是弦 AB 的中点,且 AB=23 ,则 C1P⊥AB ,
所以 C1P=22−32=1 ,
故点 P 在以 C12,m 为圆心,以 r1=1 为半径的圆上.
又在圆 C2:x−22+y+12=9 上存在点 P 恰为线段 AB 的中点，
则两圆有公共点,可得 r2−r1≤C1C2≤r2+r1 ,即 2≤m+1≤4 ,
解得 −5≤m≤−3 或 1≤m≤3 .
则实数 m 的取值范围为 −5,−3∪1,3 .

9. BC
对于 A ,若 a//b ,则存在 λ∈R ,使得 a=λb ,即 2,2,2=λ−1,−1,1 , 所以 2=−λ2=λ ,此时方程组无解,所以 A 错误;
对于 B ,由 b−c=1,−2,0 ,可得 b−c=1+4+0=5 ,所以 B 正确;
对于 C ,由 b=−1,−1,1,c=−2,1,1 ,可得 b⋅c=2−1+1=2 ,所以 C 正确;
对于 D ,由 A 可知 a 与 b 可构成一组基底,
若 a,b,c 是共面向量,则存在 λ,μ∈R ,
使得 c=λa+μb=λ2,2,2+μ−1,−1,1=2λ−μ,2λ−μ,2λ+μ ,
可得 2λ−μ=−22λ−μ=1 ,此时方程组无解,所以 a,b,c 不是共面向量,故 D 错误.
10. ABD
对于 A: 因为 1−2x2026=a0+a1x+a2x2+⋯+a2026x2026 ,因此 a1=C20261⋅−2=−4052 ,故 A 正确;
对于 B : 展开式中所有项的二项式系数的和为 22026 ,故 B 正确;
对于 C : 令 x=1 ,可得 a0+a1+a2+a3+⋯+a2026=1 ;
再令 x=−1 ,可得 a0−a1+a2−a3+⋯+a2026=32026 ,
将两式相加,即得展开式中所有奇数项系数的和为 1+320262 ,故 C 错误;
对于 D : 令 x=12 ,则 a0+a12+a222+a323+⋯+a202622026=0 ,
再令 x=0 ,可得 a0=1−02026=1 ,
所以 a12+a222+a323+⋯+a202622026=−1 ,故 D 正确.
11. ACD
对于 A ,由 PF1+PF2=4>F1F2=2 ,
根据椭圆的定义知,曲线 C 为椭圆,且 2a=4,2c=2 ,可得 a=2,c=1 , 则 b=a2−c2=3 ，所以椭圆 C 的方程为 x24+y23=1 ，
则当点 P 为短轴端点时,取得 △PF1F2 面积的最大值为 3 ，所以 A 正确；
对于 B ,由 PF1−PF2=45