江西省上犹中学2024-2025学年高一下学期开学检测试题数学试卷+答案

这是一份江西省上犹中学2024-2025学年高一下学期开学检测试题数学试卷+答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集定义进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
故选：D
2. 已知定义域为的奇函数在的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A.
B.
C. 在定义域上不存在最小值
D. 在的最大值与最小值之和为
【答案】C
【解析】
【分析】利用为定义域在的奇函数，结合图象逐项进行判断即可.
【详解】对于A，由为定义域在的奇函数，则图象关于点对称，,
由图知，则，故A正确；
对于B，，为奇函数，则，故B正确；
对于C，由图知在的最大值为，则在的最小值为，
因此可得在定义域上存在最小值为，故C错误；
对于D，由在的最大值为，最小值为，则最大值与最小值之和为，故D正确.
故选：C.
3. 下列函数的最值中错误的是（ ）
A. 最小值为2B. 已知，的最大值是
C. 已知，的最小值为3D. 的最大值5
【答案】A
【解析】
【分析】举例，判断A选项；利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】当时，，故命题错误，A符合题意；
当时，，
当且仅当，即时取等号，命题正确，B不符合题意；
当时，，则，
当且仅当，即时取等号，故命题正确，C不符合题意；
由题意，，则，
当且仅当，即时取等号，故命题正确，D不符合题意.
故选：A
4. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，函数在上单调递减，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，求解即可.
【详解】不妨假设，由，得，则在上单调递减，
所以，解得
所以实数的取值范围是.
故选：C.
5. 已知函数，若，，则（ ）
A. 25B. 20C. 10D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的图象判断所在区间，根据二次函数图象的对称性得的值，利用对数函数的图象和对数运算可得的值，进而求解即可.
【详解】由题意，函数的图象如下，
根据，且，
结合函数图像可得，，
根据二次函数图象的对称性得，即；
当时，，当时，；
由，得，即，解得，即，
所以，
故选：C
6. 已知函数的值域为M.若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，转化为有解且无最大值即可分类讨论得解.
【详解】由，可知有解，且无最大值，
即有解，且无最大值，
当时，有解，无最大值，符合题意；
当时，有解，但有最大值，不符合题意；
当时，有解需满足，解得，
此时无最大值，满足题意.
综上，实数a的取值范围是.
故选：A
7. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
8. 已知函数恰有个零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】函数恰有个零点，等价于与的图像有四个交点，根据奇偶性以及单调性和最值，作出的草图，即可求得结果.
【详解】对于函数，显然为偶函数，
不妨令，则，
且当时，，
当时，，
且函数在上是递增的，
所以可作草图如下，

因为恰有个零点，
所以方程有四个不同的解，
即与的图像有四个交点，
所以或.
故选：B
二、多选题
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是增函数
C. 是偶函数D. 不等式的解集为
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根据幂函数的定义设出幂函数的表达式，再将已知点代入求出幂函数的具体形式.然后根据幂函数的性质依次分析每个选项.
【详解】设幂函数，因为图象经过点，所以将点代入中，可得，那么，即.
分析选项A,，定义域为，所以不在定义域内，无意义，A选项错误.
分析选项B,幂函数，因为，根据幂函数性质，当时，幂函数在定义域上单调递增，B选项正确.
分析选项C,，无意义，不满足，不是偶函数，C选项错误.
分析选项D,由，即，解不等式， ，
又因为定义域为，所以不等式的解集为，D选项正确.
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 偶函数的定义域为，则
B. 已知函数满足，则
C. 奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则
D. 若集合中至多有一个元素，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据偶函数定义域关于原点对称列式求解a判断A，根据方程组法求解解析式判断B，根据函数的单调性和奇偶性求值判断C，由题意方程至多有一个解，分和两种情况讨论，当时，利用判别式法列式求解判断D.
【详解】对A，偶函数的定义域为，
所以，解得，故A对；
对B，①，
将式中x换成，可得②，
由①②联立方程组可得，故B对；
对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，
∴，∴，
∴，故C对；
对D，集合中至多有一个元素，
∴方程至多有一个解，
当时，方程只有一个解，符合题意；
当时，由方程至多有一个解，可得，
解得，∴或，D错．
故选：ABC．
11. 甲、乙两人分别从云台山、青天河、神农山、月山寺这四个景点中随机选择一个景点去旅游，已知甲、乙两人选择哪个景点相互独立，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲去云台山的概率为
B. 甲、乙两人都去云台山的概率为
C. 甲、乙两人中恰有一人去云台山的概率为
D. 甲、乙两人中至少有一人去云台山的概率为
【答案】AC
【解析】
【分析】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，，，，写出样本空间，计数后计算概率判断各选项．
【详解】将甲、乙两人去云台山、青天河、神农山、月山寺旅游分别记为，，，，
依题意可知样本空间为：
，
共含有个样本点.
甲去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故A正确；
甲、乙两人都去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故B错误；
甲、乙两人中恰有一人去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故C正确；
甲、乙两人中至少有一人去云台山的情况为，
样本点有个，概率为，故D错误.
故选：AC．
三、填空题
12. 函数的值域为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可.
【详解】令，则，
可得，
因为函数在上单调递增，
当时，，可得，
所以函数的值域为.
故答案为：.
13. 已知函数，则_________.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】直接代值计算即可.
【详解】由，则.
故答案为：.
14. 已知随机事件A，B，C，与相互独立，与对立，且，，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】首先求出，再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.
【详解】因为与对立且，所以，
又与相互独立且，
所以.
故答案为：
四、解答题
15. 设，且．
（1）求的值及的定义域；
（2）求在区间上的最值.
【答案】（1），定义域为
（2）最大值为，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据代入求出的值，即可得到解析式，再根据对数的真数大于得到不等式组，求解即可；
（2）首先分析函数的单调性，求出最大值与区间端点函数值，进而可得解.
【小问1详解】
因为，且，
所以，即，解得.
故,
令，解得,
故的定义域为.
【小问2详解】
因，，
又，在上单调递增，在上单调递减，
在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，，
所以在区间上的最大值为，最小值为.
16. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）将不等式因式分解，对参数a进行讨论即可；
（2）恒成立问题用分离参数的方法，然后利用基本不等式求解即可.
【小问1详解】
,即，即，
当时,原不等式解得;
当时，原不等式无解;
当时,原不等式解得;
综上所述：当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.
【小问2详解】
,即，
即，
，
，
由题意可知只需即可,
令，
则
当且仅当即时，等号成立.
，
17. 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩，将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示.
（1）求a值和该样本的第75百分位数；
（2）试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分；
（3）该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在，各一人的概率.
【答案】（1）0.030，第75百分位数为82
（2）平均分71 （3）
【解析】
【分析】（1）根据百分位数定义结合题意计算即可；
（2）根据频率直方图中的平均数计算方法求解即可；
（3）利用分层抽样、列举法及古典概型即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：，
解得：；
因为，，
所以该样本的第百分位数在区间，
所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：
，
解得：，
即该样本的第百分位数为.
【小问2详解】
因为，
故估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分为.
【小问3详解】
采用分层抽样从和抽取名同学，
因为，
则应在成绩为的学生中抽取人，记为，；
在成绩为的学生中抽取人，记为，，；
再从抽取的这名同学中随机抽取名同学有如下结果，
，，，，，
，，，，共种可能结果；
其中在，各一人的共种；
所以所求概率，
则这名同学分数在，各一人的概率为.
18. 已知，为常数．
（1）若为偶函数，求的值；
（2）设，，若函数，为减函数，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的定义，可得参数值；
（2）由，可得，结合对勾函数单调性可得参数范围.
【小问1详解】
由已知函数为偶函数，
则，
即恒成立，
化简可得，即，
又不恒为，
所以；
【小问2详解】
由以，
当时，，
此时，
又，则函数上单调递减，
由在上单调递减，
所以，
解得，即.
19. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求的解析式并用定义证明的单调性；
（2）使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数（定义域为）的性质求出的值，再代入检验，最后根据单调性的定义证明函数的单调性；
（2）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解.
【小问1详解】
因为是定义在上的奇函数，
所以，解得，
则，
且，
所以为定义在上的奇函数，故，即.
是上的增函数，证明如下：
任取，且，
则
，
所以，所以，，，
所以， ，
所以，即，
所以是上的增函数.
【小问2详解】
当时，不等式即，
故，
则令，因为，所以，
由题意可知，，
因为函数，为上的增函数，
故在上单调递增，
故，
所以，即实数的取值范围为.