四川省自贡市荣县中学2025-2026学年高二下学期入学巩固练习数学试题（Word版附解析）

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1. 已知空间向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
解得： ， ，即 ，
故选：C.
2. 已知数列 1， ， ， ，3， ，…， ，…，则 是这个数列的（ ）
A. 第 10 项 B. 第 11 项 C. 第 12 项 D. 第 21 项
【答案】B
【解析】
【分析】观察法求出数列的通项公式，令 ，解方程即可求出结果.
【详解】由题意可知，被开方数是首项为 1，公差为 2 的等差数列，所以该数列的通项公式为
，令 ，解得 ，
故选：B.
3. 已知双曲线 的离心率是 2，则其渐近线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率求出 的值，进而可得答案.
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【详解】由双曲线 可得
，
所以双曲线的渐近线方程为 ，
即 .
故选：B
4. 已知 是等比数列， ，则 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列的下标性质求解即可.
【详解】由等比数列性质可得 ，又 ，所以 ，所以 .
故选：D
5. 如图，在四面体 中， ， ， .点 在棱 上，且 ， 为 中
点，则 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】利用多边形法则即可求解.
【详解】 ，因为 在棱 上，且 ，所以 ，
又 为 中点，所以 ，
故 ，
故选：A
6. 已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆
内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解
【详解】圆 的圆心为 ，
圆 的圆心为 ，
设动圆的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，则 ，
所以动圆圆心 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 12 的椭圆，
设椭圆方程为 ，则 ,
得 ，所以 ,
的轨迹方程为 ，
故选：A
7. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，
半椭球面的方程为 （ ， ，且 a，b，c 不全相等）.若该建筑的室内地面是
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面积为 的圆，给出下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中
正确命题的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
分析】根据已知得 ，结合题设判断各项正误即可.
【详解】在 中，令 可得该建筑室内地面对应的曲线方程为 ，
由室内地面是面积为 的圆，故 ，①对；
且 ，则 ，又 不全相等，故 ，②错；
若 ，则 ，可得 ，与 不全相等矛盾，③错；
若 ，则 ，故 ，④对.
故选：B.
8. 已知直线 与双曲线 无公共交点，则 C 的离心率的取值范围是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.
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【详解】双曲线 的一条渐近线方程为 ，
因为直线 与 C 无公共点，所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 C 的离心率的取值范围为 .
故选：D.
二、多选题（18 分）
9. 甲、乙两位射击爱好者，各射击 10 次，甲的环数从小到大排列为 4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙
的环数从小到大排列为 2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（ ）
A. 甲、乙的第 70 百分位数相等
B. 甲的极差比乙的极差小
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差大
【答案】AB
【解析】
【分析】根据百分位数、极差、平均数和方差相关概念直接求解即可.
【详解】对于 A，因为 ，所以甲的环数的 70 百分位数是 ，乙的环数的 70 百分位
数是 ，故 A 正确；
对于 B，甲的极差为 ，乙的极差为 ，故 B 正确；
对于 C，甲的平均数为 ，乙的平均数为
，所以甲的平均数比乙的平均数小，故 C 错误；
对于 D，根据题中数据可知，甲数据分布更集中，而乙数据分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故 D 错
误.
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故选：AB
10. 如图，正方体 的棱长为 是棱 上的动点（含端点），则（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B.
C. 二面角 的平面角的大小为
D. 存在某个点 ，使直线 与平面 所成角为
【答案】ABC
【解析】
【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断 B，再应用空间向量
法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为 判断 D，再结合二面角空间向量法计算判断 C.
【详解】对于选项 A：三棱锥 转化为三棱锥 的底面积为定值，
因为平面 平面 ，所以 到平面 高不变，体积为定值，故选项 A 正确；
对于选项 B：
如图建系，设 ，则
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因 ， ，
所以得 ，故选项 B 正确；
对于选项 D：取平面 的法向量为 ，
因为 ，
则设直线 与平面 ABCD 所成角 ,则 ，
当 时， ，这时直线 与平面 ABCD 所成角 最大值为 ，故选项 D 不正确；
对于选项 C：设平面 法向量为 ， ，
所以 ，所以
所以令 ，可得 ，设平面 法向量为 ，
设二面角 为 ，则
所以二面角 的大小为 ，故选项 C 正确.
故选：ABC.
11. 已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点，过点 的直线与抛物线交于 两点，
下列说法正确的是（ ）
A. 点 的坐标为
B. 过点 作抛物线准线 垂线，垂足为 ，则 三点共线
C. 若 ，则抛物线上的点到直线 距离的最小值为
D. 过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，则点 到直线 的距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
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【分析】对于 A，利用焦点坐标公式即可求解；
对于 B，将直线方程与抛物线联立求出 ，再用斜率相等证明点共线；
对于 C，表示出抛物线上任意一点到直线的距离，结合函数单调性即可求解；
对于 D，求出在切点处的切线方程，利用两切线都过点 ，从而求出直线 的方程，再求出点
到直线 的距离，利用导数即可求解.
【详解】如图：
易得 ，设直线 的方程为 ， ， .
将直线 与抛物线 联立 ，
化简整理得 ，则 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 为公共点，所以 三点共线，故 B 正确；
设抛物线上的点 到直线 距离为 则 ，
令 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，当 时， 取得最小值 ，又 在 时单调递减，
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故 时 取得最小值 .故 C 错误；
设 ，则抛物线 在 处的切线为： ，
化简得 ，同理抛物线 在 处的切线为 ，
又点 在两切线上，故 ， ，
所以直线 方程为： ，即 .
点 到直线 的距离为： ，
令 ，则
令 ，得 .
当 时， ；当 时， ，
故 时 取得最大值： ，故 D 正确.
故选：ABD
三、填空题（15 分）
12. 抛物线 的焦点到准线的距离是______.
【答案】
【解析】
【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离
【详解】抛物线 化为标准方程为抛物线 ，则其焦准距为 ，即焦点到准线的距离是
.
故答案为：
13. 一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，
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则铁球半径的最大值为____________ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
【详解】
圆柱的底面半径为 ，设铁球的半径为 r，且 ，
由圆柱与球的性质知 ，
即 ， ，
故答案为： .
14. 数列 的前 n 项和为 ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由 及递推关系求结果.
【详解】 .
故答案为：
四、解答题
15. 已知等差数列 前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式及前 项和 ；
（2）设数列 ，求证： 是等比数列，并求出 的前 项和 .
【答案】（1） ，
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（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）设公差，由条件列出关于 ， 的方程组，求解即得数列通项与前 项和 .
（2）求出 ，由定义法判断 数列 等比数列，利用求和公式即可.
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，
由题意可得 ，
则 ， .
【小问 2 详解】
将 代入得： ，
又 ， ，
所以 为首项为 ，公比为 的等比数列.
所以前 项和 .
16. 某市举办法制知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛学生的成绩都不低于 50 分．现从中随机抽取了 100
名学生的成绩，并以 ， ， ， ， 为分组，制成了如下图所示的频
率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）估计这 100 名学生成绩的第 25 百分位数；
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（3）现从样本成绩在 与 两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取 5 人，再从这 5 人中
随机选取 2 人．写出试验的样本空间，并求这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 内的概率．
【答案】（1）
（2） 分
（3）样本空间见解析；
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为 可求得 的值；
（2）根据百分位数的定义计算；
（3）列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【小问 1 详解】
由已知可得 ，解得 ；
【小问 2 详解】
由于第一组的频率为 ，前两组的频率之和为 ，
所以第 25 百分位数 ，
则 ，得 ，
故这 100 名学生成绩的第 25 百分位数为 分；
【小问 3 详解】
由（1）可知， 与 这两组人数之比为 ，
故这两组中所抽取的人数分别为 ，
记成绩在 这组的 名学生分别为 ，
成绩在 这组的 名学生分别为 ，
则从中任取 人的所有可能结果为 、 、 、 、 、 、 、 、
、 ，共 种.
其中恰有 人成绩在 为 、 、 、 、 、 ，共 种.
故所求概率为 .
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17. 设圆 的圆心 在直线 上，且 都是圆 上的点.
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 与圆 相交于 两点，求线段 中点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及 两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程；
（2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线 的方程，并与直线 联立解得交点坐标，即
可求出线段 中点的坐标.
【小问 1 详解】
设所求圆的方程为 ，
由题意得
解得 ，
因此所求圆的方程为 .
【小问 2 详解】
设 中点为 ，
由垂径定理可知， ，又因为 ，所以直线 的斜率为 ；
可得直线 方程为 ，
联立 ，得到 中点 的坐标为 .
18. 如图，在四棱锥 中，侧面 为等腰直角三角形，底面 为直角梯形， ，
， ， ， 为 的中点．
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（1）求证： ；
（2）求平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2） ．
【解析】
【分析】（1）由勾股定理证明 ，再由 得出 平面 ，进而证明 ；
（2）以点 为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值．
【小问 1 详解】
连接 ，由 ， 为 中点，得 ，
又∵四边形 为直角梯形， ， ，
所以 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 中， ， ， ，
则 ，则 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ ．
【小问 2 详解】
由（1）可得 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点，分别以 ， ，
方向为 轴正方向，建立如图空间直角坐标系．
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， ， ， ， ，
易知平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，取 ， ，
∴ ，
故平面 与平面 所成的锐角二面角的余弦值为 ．
19. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 为坐标原点， 的面积为
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 交椭圆 于 两点， 的中点坐标为 ，求直线 的方程；
（3）如图所示，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 作 轴的垂线分别与直线
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交于点 ．判断点 是否为线段 的中点，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）点 为线段 的中点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）设 ，再根据点差法求解即可；
（3）方法一：设过点 的直线 的方程为 ，联立椭圆方程，得出韦达定理，
再证明 即可；
方法二：化简可得只需证明： ，再设直线 的方程为 ，
联立椭圆的方程，构造可得 ，进而根据韦达定理证明.
【小问 1 详解】
由题可知 ，得 ．
所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
设 ，已知 RS 的中点坐标为 ，则
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所以 ，所以 ，
直线 的方程为： ，即
所以直线 的方程为：
【小问 3 详解】
方法一：点 为线段 的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示：
设过点 的直线 的方程为 ，即 ．
联立 ，得 ．
整理得 ．
由 ，得 ．
设 ，
则
直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标 ．
直线 的方程为 ，
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令 ，得点 的纵坐标 ．
要证点 为线段 的中点，只需证明 ，即
因为
，
即 ，
所以点 为线段 的中点
方法二：要证点 为线段 的中点，只需证明： ．
只需证明：
只需证明： ．
设直线 的方程为 ，即 ．
由 得 ．
整理得
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由 得
所以
显然 ，原命题为真．
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