四川省荣县中学校2025-2026学年下学期高二年级数学入学巩固练习含 答案

这是一份四川省荣县中学校2025-2026学年下学期高二年级数学入学巩固练习含 答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知空间向量 a=1,p,4,b=3,6,q ,若 a//b ,则 p+q 的值为 ( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
2. 已知数列 1,3,5,7,3,11,…,2n−1,… ，则 21 是这个数列的( )
A. 第 10 项 B. 第 11 项 C. 第 12 项 D. 第 21 项
3. 已知双曲线 C:x2−y2b2=1b>0 的离心率是 2,则其渐近线的方程为 ( )
A. x±3y=0 B. 3x±y=0
C. x±3y=0 D. 3x±y=0
4. 已知 an 是等比数列， a2=2,a5=10 ，则 a8= ( ).
A. 12 B. 6 C. 20 D. 50
5. 如图,在四面体 PABC 中, PA=a,PB=b,PC=c . 点 E 在棱 PB 上,且 BE=2EP,F 为 AC 中点,则 EF 等于( )

A. 12a−13b+12c B. 13a−12b+12c
C. 12a−23b+12c D. 13a−12b+13c
6. 已知圆 C1:x2+y2+6x+5=0 和圆 C2:x2+y2−6x−91=0 ,若动圆 P 与圆 C1 外切, 同时与圆 C2 内切,则该动圆圆心 P 的轨迹方程为 ( )
A. x236+y227=1 B. x236+y29=1 C. x227+y29=1 D. x26+y23=1
7. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状. 如图, 若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系,半椭球面的方程为 x2a2+y2b2+z2c2=1(z≥0,,a,b,c>0 ,且 a,b,c 不全相等). 若该建筑的室内地面是面积为 m2πm>0 的圆,给出下列结论: ① a=b ; ② c=m ; ③ ac=m2 ；④若 ac>m ，则 c>1 ，其中正确命题的个数为( )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知直线 l:2x+3y=0 与双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 无公共交点，则 C 的离心率的取值范围是( )
A. 132,+∞ B. 133,+∞
C. 1,132 D. 1,133
二、多选题(18 分)
9. 甲、乙两位射击爱好者, 各射击 10 次, 甲的环数从小到大排列为 4, 5, 5, 6, 6, 7,
7,8,8,9，乙的环数从小到大排列为2,5,6,6,7,7,7,8,9,10，则( )
A. 甲、乙的第 70 百分位数相等
B. 甲的极差比乙的极差小
C. 甲的平均数比乙的平均数大
D. 甲的方差比乙的方差大
10. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是棱 CD 上的动点 (含端点),则 ( )

A. 三棱锥 A1−AB1E 的体积为定值
B. EB1⊥AD1
C. 二面角 E−A1B1−A 的平面角的大小为 π4
D. 存在某个点 E ,使直线 A1E 与平面 ABCD 所成角为 60∘
11. 已知抛物线 Γ:x2=aya>0 的焦点为 F,O 为坐标原点,过点 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点，下列说法正确的是( )
A. 点 F 的坐标为 0,a4
B. 过点 A 作抛物线准线的垂线，垂足为 A1 ，则 A1,O,B 三点共线
C. 若 1≤a≤2 ,则抛物线上的点到直线 x−y−2a=0 距离的最小值为 22
D. 过点 P−1,−2 作抛物线 Γ 的两条切线,切点分别为 M,N ,则点 P 到直线 MN 的距离的最大值为 17
三、填空题(15 分)
12. 抛物线 y=8x2 的焦点到准线的距离是_____.
13. 一个底面半径为 4 cm ,高为 9 cm 的封闭圆柱形容器 (容器壁厚度忽略不计) 内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为_____cm.
14. 数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2+n ,则 a5= _____.
四、解答题
15. 已知等差数列 an 前 n 项和为 Sn,a2=3,S2=4 .
(1)求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn ；
(2)设数列 bn=3Sn ，求证: bn 是等比数列，并求出 bn 的前 2n 项和 T2n .
16. 某市举办法制知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛学生的成绩都不低于 50 分. 现从中随机抽取了 100 名学生的成绩,并以 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),90,100 为分组, 制成了如下图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中 x 的值；
(2)估计这 100 名学生成绩的第 25 百分位数；
(3)现从样本成绩在 [70,80) 与 [80,90) 两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取 5 人，再从这 5 人中随机选取 2 人. 写出试验的样本空间,并求这 2 人中恰有 1 人的成绩落在 [70,80) 内的概率.
17. 设圆 C 的圆心 C 在直线 l:2x−7y+8=0 上，且 A6,0,B1,5 都是圆 C 上的点.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)若直线 m:x−y+3=0 与圆 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 中点的坐标.
18. 如图,在四棱锥 P−ABCD 中,侧面 PAD 为等腰直角三角形,底面 ABCD 为直角梯形, AB⊥AD,BC//AD,PA=PD=PC=22,AD=2AB=2BC,O 为 AD 的中点.

(1)求证: PO⊥CD ；
(2)求平面 PAD 与平面 PCD 所成的锐角二面角的余弦值.
19. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左顶点为 A ，上顶点为 B0,1 ， O 为坐标原点， △AOB 的面积为 22 .

(1)求椭圆 E 的方程；
(2)若直线 l 交椭圆 E 于 R,S 两点， RS 的中点坐标为 T1,14 ，求直线 l 的方程；
(3)如图所示，过点 P−2,1 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 C,D ，过点 C 作 x 轴的垂线分别与直线 AD,AB 交于点 M,N . 判断点 N 是否为线段 CM 的中点,说明理由.
1. C
因为 a//b ,所以 13=p6=4q ,
解得: p=2,q=12 ,即 p+q=14 ,
故选: C.
2. B
由题意可知, 被开方数是首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 所以该数列的通项公式为 an=2n−1 ,令 2n−1=21 ,解得 n=11 ,
故选: B.
3. B
由双曲线 C:x2−y2b2=1b>0 可得 a=1,c=1+b2 ,
∴e=ca=1+b21=2⇒b=3 ,
所以双曲线的渐近线方程为 y=±31x=±3x ,
即 3x±y=0 .
故选: B
4. D
由等比数列性质可得 a52=a2a8 ,又 a2=2,a5=10 ,所以 100=2×a8 ,所以 a8=50 . 故选: D
5. A
EF=EP+PC+CF ,因为 E 在棱 PB 上,且 BE=2EP ,所以 EP=−13PB ,
又 F 为 AC 中点,所以 CF=12CA=12PA−PC ,
故 EF=−13PB+PC+12PA−PC=12PA+PC−13PB=12a−13b+12c ,
故选: A
6. A
圆 C1:x2+y2+6x+5=0 的圆心为 C1−3,0,r1=2 ,
圆 C2:x2+y2−6x−91=0 的圆心为 C23,0,r2=10 ,
设动圆的圆心为 P ,半径为 r ,
由题意得 PC1=r+2,PC2=10−r ,则 PC1+PC2=12>C1C2=6 ,
所以动圆圆心 P 的轨迹是以 C1,C2 为焦点,长轴长为 12 的椭圆,
设椭圆方程为 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,则 2a=12,2c=6 ,
得 a=6,c=3 ,所以 b2=a2−c2=36−9=27 ,
P 的轨迹方程为 x236+y227=1 ,
故选: A
7. B
在 x2a2+y2b2+z2c2=1 中,令 z=0 可得该建筑室内地面对应的曲线方程为 x2a2+y2b2=1 , 由室内地面是面积为 m2πm>0 的圆,故 a=b ,① 对;
且 πa2=m2π ,则 a=b=m ,又 a,b,c 不全相等,故 c≠m ,② 错;
若 ac=m2 ,则 mc=m2 ,可得 c=m ,与 a,b,c 不全相等矛盾,③错;
若 ac>m ,则 mc>m>0 ,故 c>1 ,④ 对.
故选: B.
8. D
双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的一条渐近线方程为 y=−bax ,
因为直线 l:2x+3y=0 与 C 无公共点，所以 −ba≥−23 ，即 ba≤23 ，
所以 e=ca=1+b2a2≤133 ,又 e>1 ,所以 C 的离心率的取值范围为 1,133 .
故选: D.

9. AB
对于 A ,因为 10×70%=7 ,所以甲的环数的 70 百分位数是 7+82=7.5 ,乙的环数的 70 百分位数是 7+82=7.5 ,故 A 正确;
对于 B ,甲的极差为 9−4=5 ,乙的极差为 10−2=8 ,故 B 正确;
对于 C ,甲的平均数为 4+5+5+6+6+7+8+8+910=6.5 ,乙的平均数为
2+5+6+6+7+7+7+8+9+1010=6.7 ,所以甲的平均数比乙的平均数小,故 C 错误;
对于 D ,根据题中数据可知,甲数据分布更集中,而乙数据分布更分散,甲的方差比乙的方差小, 故 D 错误.
故选: AB
10. ABC
对于选项 A: 三棱锥 A1−AB1E 转化为三棱锥 E−AA1B1 的底面积为定值,
因为平面 AA1B1B// 平面 DCC1D1 ,所以 E 到平面 AA1B1B 高不变,体积为定值,故选项 A 正确;
对于选项 B:

如图建系,设 DE=t ,则 A1,0,0,D10,0,1,B11,1,1,E0,t,0
因为 EB1=1,1−t,1,AD1=−1,0,1,EB1⋅AD1=−1+01−t+1=0 ,
所以得 EB1⊥AD1 ,故选项 B 正确;
对于选项 D: 取平面 ABCD 的法向量为 n=0,0,1 ,
因为 A11,0,1,E0,t,0A1E=−1,t,−1 ,
则设直线 A1E 与平面 ABCD 所成角 θ ,则 sinθ=A1E⋅nA1E⋅n=11+1+t2=12+t2≤22 ,
当 t=0 时， sinθmax=12 ，这时直线 A1E 与平面 ABCD 所成角 θ 最大值为 π4 ，故选项 D 不正确;
对于选项 C:设平面 EA1B1 法向量为 m=x,y,z,A1B1=0,1,0,A1E=−1,t−1,−1 ,
所以 A1B1⋅n=0,A1E⋅n=0 ,所以 y=0−x+t−1y−z=0
所以令 x=1 ,可得 m=1,0,−1 ,设平面 AA1B1 法向量为 P=1,0,0 ,
设二面角 E−A1B1−A 为 β ,则 csβ=m⋅pm⋅p=12=22
所以二面角 E−A1B1−A 的大小为 π4 ,故选项 C 正确.
故选: ABC.
11. ABD
如图:

易得 F0,a4 ,设直线 AB 的方程为 y=kx+a4,Ax1,1ax12,Bx2,1ax22,A1x1,−a4 .
将直线 y=kx+a4 与抛物线 x2=aya>0 联立 y=kx+a4x2=ay ,
化简整理得 x2−akx−a24=0 ,则 x1x2=−a24 ,
所以 x2a=−a4x1 ,又 kOB=1ax2,kOA1=−a4x1 ,
所以 kOB=kOA1 ,又 O 为公共点,所以 A1,O,B 三点共线,故 B 正确;
设抛物线上的点 Qx0,1ax02 到直线 x−y−2a=0 距离为 d ,则 d=x0−x0a−2a2 ,
令 t=−x0​2a+x0−2a,Δ=1−8a2=a2−8a2 ,因为 1≤a≤2 ,所以 Δ0 在 N 处的切线为 y=2ax4x−y4 ,
又点 P−1,−2 在两切线上,故 −2=−2ax3−y3,−2=−2ax4−y4 ,
所以直线 MN 的方程为: −2=−2ax−y ,即 2x+ay−2a=0 .
点 P 到直线 MN 的距离为: d1=−2−2a−2a4+a2=2+4a4+a2=2+4a4+a2 ,
令 fa=2+4a4+a2,a>0 ,则 f′a=44+a2−2+4aa4+a24+a2=16−2a4+a23/2
令 f′a=0 ,得 a=8 .
当 08 时， f′a