四川省自贡市荣县中学2025-2026学年高二上学期入学测试数学试卷（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 已知复数 （ 是虚数单位），则 对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据复数除法化简复数，然后求出复数对应的点.
【详解】因为 ，
所以 对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2. 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量平行列方程，化简求得 .
【详解】由于 ，所以 .
故选：D
3. 一个射击运动员打靶 6 次的环数为：9，5，7，6，8，7 下列结论不正确的是（ ）
A. 这组数据的平均数为 7 B. 这组数据的众数为 7
C. 这组数据的中位数为 7 D. 这组数据的方差为 7
【答案】D
【解析】
【分析】由一组数据的数字特征求解判断即可.
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【详解】9，5，7，6，8，7 这组数据从小到大排列，5，6，7，7，8，9，
所以众数为 7，中位数为 7，平均数为 ，
方差为： ，
故选：D
4. 已知两个随机事件 A 和 B，其中 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因为 A 和 B 是两个随机事件,所以由 即可求出结果.
【详解】因为 A 和 B 是两个随机事件,所以
则
故选：D.
5. 在 中， ， ，其面积为 ，则 等于（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形面积公式可得 的值，再结合余弦定理即可求得 .
【详解】由题意知 ，则
由余弦定理得
即 .
故选:C.
6. 已知 m，n 是两条不同 直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n B. 若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则 m⊥n D. 若 m∥n，n⊂α，则 m∥α
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【答案】C
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项即得．
【详解】对于 A，若 m∥α，n∥α，则 m∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 A 错误；
对于 B，若 m∥α，m⊥n，则 n∥α或 n⊂α或 n 与α相交，相交也不一定垂直，故 B 错误；
对于 C，若α∥β，m⊥α，则 m⊥β，又 n∥β，∴m⊥n，故 C 正确；
对于 D，若 m∥n，n⊂α，则 m∥α或 m⊂α，故 D 错误．
故选：C．
7. 如图，已知长方体 的底面 为正方形， 为棱 的中点，且 ，
，则四棱锥 的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】判断出四棱锥 外接球球心位置并计算出球的半径，从而求得外接球的体积.
【详解】设 是 的中点，设 ，
依题意，四边形 是正方形，所以 ，
是 的中点，所以 .
，
由于 分别是 的中点，所以 ，
根据正方体的性质可知 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
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所以 ，
所以 是四棱锥 的外接球球心，且外接球的半径为 ，
所以外接球的体积为 .
故选：A
8. 设 是 内一点，且 ， ，定义 ，其中 、 、
分别是 、 、 的面积，若 ，则 的最小值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 16 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量运算求得 ，由此求得 ，进而求得关于 的等量关系式，利用基本不等式求得
的最小值.
【详解】设 中， 角的对边分别为 ，
，
依题意可知 ，
所以 ，且 是正实数，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
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所以 的最小值是 .
故选：B.
二、多选题
9. 抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,“向上的点数是 1,2,3”为
事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,则下列关于事件 A，B，C，D 判断正确的有（ ）
A. A 与 B 是互斥事件但不是对立事件
B. A 与 C 互斥事件也是对立事件
C. A 与 D 是互斥事件
D. C 与 D 不是对立事件也不是互斥事件
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可.
【详解】抛掷一枚骰子 1 次,记“向上的点数是 4,5,6”为事件 A,“向上的点数是 1,2”为事件 B,
“向上的点数是 1,2,3”为事件 C,“向上的点数是 1,2,3,4”为事件 D,
在 A 中,A 与 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故 A 正确；
在 B 中, A 与 C 是互斥事件也是对立事件,故 B 正确；
在 C 中,A 与 D 能同时发生,不是互斥事件,故 C 错误；
在 D 中,C 与 D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件 判定,属于基础题.
10. 已知 ，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的最大值为 2
B. 在区间 上单调递增
C. 的图象关于点 对称
D. 的最小正周期为
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【答案】ACD
【解析】
【分析】由辅助角公式得 ，由此可判断 A；由周期公式可判断 D；由正弦函数、复
合函数单调性可判断 B；代入检验即可判断 C.
【详解】 ．对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，当 时， ，由正弦函数在 上单调递增可知： 在
上单调递增，故 B 正确；
对于 C，当 时， ，则 关于 成轴对称，故 C 错误；
对于 D， 的最小正周期 ，故 D 错误．
故选：ACD．
11. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A. B. 的取值范围为
C. 的取值范围为 D. 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理边化角、诱导公式、和差角公式计算可判断 A 项，结合 A 项、三角形内角和及锐角三
角形计算可判断 B 项，运用正弦定理将问题转化为三角函数在区间上求值域可判断 C 项，运用切化弦、差
角公式化简式子，由换元法将问题转化为求 在 上的值域，结合导数求解即可判断 D 项.
【详解】因为 ，所以由正弦定理得 ，
又因为 ，所以 ，
即 ，
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整理得 ，即
对于 A 项，因为 A、B、C 均为锐角，所以 ，即 ，故 A 项正确；
对于 B 项，因 ， ，所以 ，
因为 A、B、C 均为锐角，所以 ，即 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，故 B 项错误．
对于 C 项，由正弦定理得 ， ，
所以 ，所以 ．故 C 项正确．
对于 D 项，由 A 项知， ，由 B 项知， ，所以 ，
所以
， ，
令 ，则 ，所以 ， ，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，即 范围为 ，故 D 项正
确.
故选：ACD.
第ⅠⅠ卷（非选择题）
三、填空题
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12. 某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为 480，40，120 和 80，
现采用分层抽样的方法从这些学生中选出 72 人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为
____________.
【答案】8
【解析】
【分析】由按比例分配的分层抽样方法中抽样比相等，解方程即可.
【详解】由题意， ，
设在“史政生”组合中应选出的学生人数为 ，
则根据按比例分配分层抽样可得 ，解得 .
故“史政生”组合中选出的学生人数为 .
故答案为： .
13. 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN＝60°，
C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从 C 点测得∠MCA＝60°，已知山高 BC＝1000m，则山高 MN＝
__m．
【答案】1500
【解析】
【分析】由题意，可先求出 AC 的值，从而由正弦定理可求 AM 的值，在 Rt△MNA 中，AM＝1000 m，∠
MAN＝30°，从而可求得 MN．
【详解】在 Rt△ABC 中，∠CAB＝45°，BC＝1000m，所以 AC＝1000 m．
在△AMC 中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，
由正弦定理得， ，因此 AM＝1000 m．
在 Rt△MNA 中，AM＝1000 m，∠MAN＝60°，
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由 ＝sin60°得 MN＝1500m；
∴山高 MN＝1500．
故答案为：1500．
14. 已知在一个长、宽、高、分别为 3 cm，4 cm，6 cm 的封闭长方体形状的铁盒中装有两个大小相同的小
钢球，则每个小钢球的最大体积为______ ．（不计铁盒各侧面的厚度）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意知，当两个钢球并排放置时，半径最大，此时每个钢球的直径为 ，再集合球的体积公
式，即可求得结果.
【详解】由题意知，每个小钢球的最大半径为 ，
所以每个小钢球的最大体积为
故答案为: .
四、解答题
15. 已知 ， .
（1） 与 夹角的余弦值；
（2）若 与 垂直，求 k 的值.
【答案】（1） ；
（2）0.
【解析】
【分析】（1）根据向量夹角的坐标公式，计算即可；
（2）求得 与 的坐标，利用向量垂直的坐标表达公式，求解即可.
【小问 1 详解】
因为 ， ，故 .
【小问 2 详解】
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因为 ， ，故 ， ，
又向量 与 垂直，则 ，解得 .
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调增区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形得 ，再由
可求出函数的增区间，
（2）由 可得 ，然后求出 的范围，再求出 的值，而
，两边取余弦化简可求得结果
【小问 1 详解】
令 ， ，得 ，
所以函数 的单调增区间为 ， ．
【小问 2 详解】
由 可得 ，
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又因为 ，所以
而 ，所以 ，
所以 ；
所以
；
17. △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求 A；
（2）若 ，证明：△ABC 是直角三角形．
【答案】（1） ；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系， 可化为
，即可解出；
（2）根据余弦定理可得 ，将 代入可找到 关系，
再根据勾股定理或正弦定理即可证出．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
即 ，
解得 ，又 ，
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所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
即 ①，
又 ②， 将②代入①得， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以 ，
故 ，
即 是直角三角形．
【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形
状，属于基础题．
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， 平面 ，且
是 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的正切值；
（3）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先证明 平面 ，由线面垂直的判定定理即可证明 平面 ；
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（2）由题可得异面直线 与 所成角即为直线 与直线 所成的角，然后在 中根据
求解即可；
（3）取 中点为 ，连接 ，再过 作 的垂线交 于点 ，可证得二面角
的平面角是 ，然后在 中根据 求解即可.
【小问 1 详解】
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
又四边形 是矩形，∴ ，∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，又 是 的中点， ，∴ ，
∵ ，所以 平面 ．
【小问 2 详解】
∵底面 是矩形，∴ ，∴异面直线 与 所成角即为直线 与直线 所成的角，由
（1）得 平面 ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，∴ 为直角三角形，又 是 的中点， ，∴
，∴在 中， 即为异面直线 与 所成角，故 ，
∴异面直线 与 所成角的正切值为 ．
【小问 3 详解】
取 中点为 ，连接 ，再过 作 的垂线交 于点 ，
在 中， 分别为线段 的中点，故 ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
∵ ，∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，∴二面角 的平面角是 ，
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∴ 是直角三角形，∴二面角 的正弦值 ，
∵ ，∴ ，由（1）得 平面 且 平面
，∴ ，∴ ，∴ ，
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∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴二面角 的正弦值 ．
19. 对于平面向量 ，定义“ 变换”：
，
（1）若向量 ， ，求 ；
（2）求证： ；
（3）已知 ， ，且 与 不平行， ， ，判断
与 的大小，并证明．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）直接代入公式即可得到答案；
（2）计算得 ，从而 ，再展开计算即
可证明；
（3）方法一：根据“ 变换”和向量数量积的坐标公式得到 ，从而有
，最后利用三角形面积公式即可证明；方法二：证明三角形面积公式为
，再代入公式证明 即可.
【小问 1 详解】
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因为向量 ,
所以 ,
所以 .
【小问 2 详解】
因为 .
所以 ,
.
.
所以 .
【小问 3 详解】
方法一： ，
，
由（2）可得 ，
又因为
，即 ，
可得 ，
且 在 内单调递减， ，
可知 ，
所以 .
所以
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方法二:设 ，
，
因为 ，
，
所以
，
所以 .
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