四川省自贡市荣县中学2024-2025学年高二下学期入学考试数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷总分：150）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知A为抛物线上一点，点A到抛物线C的焦点的距离为10，到y轴的距离为9，则（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 9
3. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为边长为2的正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A. 120B. 85C. D.
6. 已知是双曲线C两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为
A 16B. 8C. 1D.
8. 已知椭圆与双曲线具有相同的左、右焦点，，点为它们在第一象限的交点，动点在曲线上，若记曲线，的离心率分别为，，满足，且直线与轴的交点的坐标为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题.每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9. 已知等差数列的前项和为，且，，，则（ ）
A. 数列是递增数列B.
C. 当时，最大D. 当时，的最大值为14
10. 已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A圆C上，则直线l与圆C相切B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
11. 已知一条线段的端点分别是，关于的方程，则（ ）
A. 当时，方程所表示的曲线是以为直径的圆
B. 当时，方程所表示的曲线是双曲线
C. 存在，使得方程所表示的曲线是椭圆
D. 任意，方程所表示的曲线围成的封闭区域面积大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____．
13. 经过点作直线，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.
14. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．
（1）求证：平面平面EFG；
（2）求平面与平面EFG间的距离．
16. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
17. 已知圆与x轴相切．
（1）求圆C的圆心坐标及半径；
（2）直线与圆C交于A，B两点，求线段长．
18. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，．
（I）求和的通项公式；
（II）记，
（i）证明是等比数列；
（ii）证明
19. 若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为.
（1）当点坐标为时，求；
（2）当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值；
（3）证明：面积为定值.