河北秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二下学期开学测验数学试题含答案

这是一份河北秦皇岛市实验中学2025-2026学年高二下学期开学测验数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 抛物线 y=2x2 的焦点坐标是( )
A. 0,18 B. 0,12 C. 18,0 D. 12,0
2. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a2+a3=10,S5=30 ,则数列 an 的公差为 ( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3. 三棱锥 O−ABC 中, OA=a,OB=b,OC=c ,点 M 为 BC 中点,点 N 满足 ON=2NA ,则 MN= ( )
A. 12a−13b−23c B. 12a−13b+23c
C. 23a−12b−12c D. −12a−23b+12c
4. 已知各项均为正数的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a3+a5=20,a2⋅a6=64 ,则 S5= ( )
A. 32 B. 32 或 124 C. 31 或 124 D. 124
5. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点为 F1,F2 ,离心率为 33 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若 ΔAF1B 的周长为 43 ,则 b 的值为.
A. 4 B. 2 C. 2 D. 22
6. 设 x,y∈R ,向量 a=x,1,1,b=1,y,1,c=2,−4,2 且 a⊥b,b//c ,则 a+b= ( )
A. 22 B. 3 C. 10 D. 4
7. 与双曲线 x29−y216=1 有共同渐近线,且过点 −3,23 的双曲线方程是 ( )
A. 4x29−y24=1 B. x29−y24=1
C. 4y29−x24=1 D. y29−x24=1
8. 已知 an 为等比数列,若 a3a4=32,a5=16 ,则 a1+a3+a5+⋯+a99= ( )
A. 249−1 B. 250−1
C. 298−13 D. 2100−13
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.
9. 已知曲线 C 的方程为 x2k+y24−k=1k∈R ,则下列结论正确的是 ( ).
A. 若曲线 C 为圆,则 k 的值为 2 ;
B. 当 k=−2 时,曲线 C 为双曲线,其渐近线方程为 y=±33x ;
C. “ 00 的左顶点为 M−2,0 ,离心率为 22 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)过点 N1,0 的直线 1 交椭圆 C 于 A，B 两点，当 MA⋅MB 取得最大值时，求 △MAB 的面积.
18. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F ，点 P1,y0y0>0 在 C 上，
PF=2 ,斜率为 -1 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点.
(1)求 C 的方程；
(2)若 MN=8 ，求直线 l 的方程；
(3)设直线 PM 与 PN 的斜率分别为 k1,k2 ，证明: k1+k2 为定值.
19. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,a2=1,S7=14 ,数列 bn 满足 b1b2b3⋯bn=2n2+n2 .
(1)求数列 an 和 bn 的通项公式；
(2)若数列 cn 满足 cn=an⋅bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn .
1. A
抛物线 y=2x2 整理为标准形式 x2=12y ,故焦点在 y 轴上,
又 x2=2pyp>0 的焦点坐标为 0,p2 ,
由 2p=12 得, p=14 ,所以此抛物线的焦点坐标为 0,18 .
故选: A.
2. B
设等差数列 an 的首项和公差分别为 a1 和 d ,则由题意可得
a2+a3=2a1+3d=10S5=d2×52+a1−d2×5=30 ,联立解得 d=2 .
故选:B.
3. C
MN=MO+OB+BN ,又 ON=2NA,M 为 BC 中点,
∴MN=−12OB+OC+OB+BO+ON=−12OB+OC+OB+BO+23OA
=23OA−12OB−12OC=23a−12b−12c .
故选: C

4. C
a2⋅a6=a3⋅a5=64,a3+a5=20 ,则 a3=4a5=16 或 a3=16a5=4 ,
当 a3=4a5=16 时,公比 q=2,a1=1 ,
则 a2=2,a4=8,S5=a1+a2+a3+a4+a5=31 .
当 a3=16a5=4 时,公比 q=12,a1=64 ,
则 a2=32,a4=8,S5=a1+a2+a3+a4+a5=124 .
5. C
解: 由椭圆的离心率 e=ca=33 ,
若 △ABFI 的周长为 43,4a=43 ,
∴a=3,c=1 ,
由 b2=a2−c2=3−1=2 ,
b=2,
故选 C .
6. B
向量 a=x,1,1,b=1,y,1,c=2,−4,2 ,且 a⊥b,b//c ,
∴a⋅b=x+y+1=012=y−4 ,解得 x=1y=−2 ,
∴a+b=x+1,1+y,2=2,−1,2 ,
∴a+b=4+1+4=3 ,
故选: B
7. A
设与双曲线 x29−y216=1 有共同渐近线的双曲线方程为 x29−y216=λλ≠0 ,
∵ 所求双曲线过点 −3,23 ,
∴−3,23 代入 x29−y216=λλ≠0 ,
得 99−1216=λ ,即 λ=14 ,
∴ 与双曲线 x29−y216=1 有共同渐近线,且过点 −3,23 的双曲线方程是 x29−y216=14 , 即 4x29−y24=1 .
故选: A.
8. D
由题意得 an 为等比数列,则设首项为 a1 ,公比为 q ,
因为 a3a4=32,a5=16 ,所以 a12q5=32 ,
联立方程组 a12q5=32a1q4=16 ,解得 a1=1q=2 ,
结合题意可得 a1+a3+a5+⋯+a99 是首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 50 项和,
由求和公式得前 50 项和为 11−4501−4=450−13=2100−13 ,故 D 正确.
故选: D
9. AC
A 选项,当方程表示圆时, k=4−k⇒k=2 ,圆的方程为 x2+y2=2, A 正确. B 选项, k=−2 时,方程为 y26−x22=1 ,表示双曲线,渐近线方程为 y=±3x, B 错误.
C 选项,当方程表示椭圆时, k>04−k>0⇒k∈0,2∪2,4,所以 “00 ,
则由题意得 2a=4ca=32 ,解得 a=2c=3 ,
则 b2=a2−c2=1 .
则其标准方程为 y24+x2=1 .
故答案为: y24+x2=1 .
13. 56
由题意, an=1nn+1=1n−1n+1 ,
则 S5=a1+a2+a3+a4+a5
=1−12+12−13+13−14+14−15+15−16
=1−16=56
故答案为: 56
14. 13
已知 a=2,−3x,1,b=−4,2,−2 ,
若 l⊥α ,则 a 与 b 平行,
所以 2−4=−3x2=1−2 ,则 −3x=−1 ,即 x=13 .
15. (I) an=2n−1 (II) 2n−1+n2+n2
解: (I) 由 a1⋅a4=a2⋅a3=8 及 a2+a3=6 ,
得 a2=2a3=4 或 a3=2a2=4 (舍)
所以 a3a2=q=2,aI=1
所以 an=a1qn−1=2n−1
(II) 由 (I) 得 bn=an+lg2an+1=2n−1+n
所以 Tn=b1+b2+…+bn=1+2+…+2n−1+1+2+…+n
=1−2n1−2+1+nn2=2n−1+n2+n2 .
16. (1)连接 AC ,交 BD 于点 O ,
由底面 ABCD 是正方形,可知 O 为 AC 的中点,
又 ∵E 是 PC 的中点, ∴OE 是 △PAC 的中位线,
∴OE//PA ,
又 ∵PA⊄ 平面 BDE,OE⊂ 平面 BDE ,
∴PA// 平面 BDE .

(2)设 PD=DC=2,∴BD=AD2+AB2=22+22=22 ，
∵PD⊥ 底面 ABCD,DC⊂ 底面 ABCD,∴PD⊥DC ,
即 △PDC 是直角三角形, ∴PC=PD2+CD2=22+22=22 ,
又 E 是 PC 的中点, ∴DE=CE=12PC=2 ,
同理可得 PD⊥BC ,且 BC⊥CD,CD∩PD=D,∴BC⊥ 平面 PCD ,
∵PC⊂ 平面 PCD,∴BC⊥PC ,
∴ 在直角 △BCE 中, BE=BC2+CE2=22+22=6 ,
∴BE2+DE2=BD2,∴BE⊥DE,
又 CE⊥DE,∴ 二面角 B−DE−C 的平面角为 ∠BEC ,
∴cs∠BEC=CEBE=26=33 .
∴ 二面角 B−DE−C 的平面角的余弦值为 33 .
17. (1) C:x24+y22=1; (2) 362
(1) 由题意可得: a=2,ca=22 ，得 c=2 ，则 b2=a2−c2=2 .
所以椭圆 C 的方程: C:x24+y22=1
(2) 当直线 l 与 x 轴重合,不妨取 A−2,0,B2,0 ,此时 MA⋅MB=0
当直线 l 与 x 轴不重合,设直线 l 的方程为: x=ty+1 ,设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
联立 x=ty+1x24+y22=1 得 t2+2y2+2ty−3=0 ,
显然 Δ>0,y1+y2=−2tt2+2,y1⋅y2=−3t2+2 .
所以 MA⋅MB=x1+2x2+2+y1y2=ty1+3ty2+3+y1y2
=t2+1y1y2+3ty1+y2+9=t2+1−3t2+2+3t−2tt2+2+9
=−3t2−3−6t2t2+2+9=−9t2−3t2+2+9=15t2+2
当 t=0 时, MA⋅MB 取最大值 152 .
此时直线 l 方程为 x=1 ，不妨取 A1,62,B1,−62 ，所以 AB=6 .
又 MN=3 ,所以 △MAB 的面积 S=12×6×3=362
18.(1) 根据题意可得 1+p2=2 ,解得 p=2 . 所以 C 的方程为 y2=4x .
(2)设 My124,y1 ， Ny224,y2 ，直线 l 的方程为 y=−x+t .
由 y=−x+t,y2=4x, 消去 x 得 y2+4y−4t=0 ,
所以 Δ=16+16t>0 即 t>−1,y1+y2=−4,y1y2=−4t ,
所以 MN=1+−12⋅y1−y2=2⋅y1+y22−4y1y2=42⋅1+t=8 ,解得 t=1 , 所以直线 l 的方程为 y=−x+1 ;

(3)证明:因为点 P1,y0 在 C 上，所以 y0=2 或 y0=−2 (舍去)，所以 P1,2 ，
由 (2) 得 k1=y1−2y124−1=4y1+2,k2=y2−2y224−1=4y2+2 ,
所以 k1+k2=4y1+2+4y2+2=4y2+2+4y1+2y1+2y2+2=4y1+y2+16y1y2+2y1+y2+4 .
因为 y1+y2=−4,y1y2=−4t ,
所以 k1+k2=4y1+y2+16y1y2+2y1+y2+4=4−4+16−4t+2−4+4=0−4t−4=0 ,即 k1+k2 为定值.
19. (1) an=12n;bn=2n
(2) Tn=n−12n+1
(1)因为数列 an 是等差数列,且 a2=1,S7=14 , 设数列 an 的公差为 d ,所以 a1+d=17a1+a1+7−1d2=14 ,解得 a1=12d=12 , 所以 an=12+n−1×12=12n .
当 n=1 时, b1=212+12=2 ,
当 n≥2 时, bn=b1b2b3⋯bnb1b2b3⋯bn−1=2n2+n22n−12+n−12=2n ,当 n=1 时仍成立, 所以 bn=2n .
(2)由(1)得 cn=n2×2n=n⋅2n−1 ，
所以 Tn=1×20+2×21+3×22+⋯+n−1×2n−2+n×2n−1 ①,
2Tn=1×21+2×22+3×23+⋯+n−1×2n−1+n×2n ②,
①-②得 −Tn=20+21+22+⋯+2n−1−n×2n=1×1−2n1−2−n×2n ，
所以 Tn=n−12n+1 .