2024-2025学年河北省秦皇岛实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省秦皇岛实验中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列运算结果为纯虚数的是( )
A. i(1−i)B. i(1+i)2C. i3(1+i)D. (1+i)2
2.如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是( )
A. 6B. 3 2C. 12D. 6 2
3.若i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
4.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题：
①m⊂α，n⊂α，m//β，n//β⇒α//β ②n//m，n⊂α⇒m//α
③α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n ④m//α，n⊂α⇒m//n
其中正确命题的个数有( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则A1C1与B1C所成角为( )
A. π6
B. π4
C. π3
D. π2
6.为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C学校中应抽取的人数为( )
A. 10B. 12C. 18D. 24
7.已知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥底面直径为( )
A. 6B. 3C. 12D. 3 3
8.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. 20+12 3B. 28 2C. 563D. 28 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足(1+i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则( )
A. |z|= 5
B. z的实部是2
C. z的虚部是−i
D. 复数z的共轭复数z−在复平面内对应的点在第一象限
10.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，C1D1的中点，G为线段BC上的动点(不含端点).则下列结论中正确的是( )
A. AC//平面EFG
B. G为BC中点时EF⊥FG
C. G为BC中点时异面直线AB与EG所成的角为60°
D. 棱锥G−EFD1的体积为定值
11.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理财，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：
用样本估计总体，以下四个选项正确的是( )
A. 30−41周岁参保人数最多
B. 随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C. 丁险种最受参保人青睐
D. 30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z对应的点的坐标为(2,−1)，则z的虚部为______．
13.一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，x，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的54倍，则该组数据的第60百分位数是______．
14.在正三棱锥P−ABC中，AB=2 3，正三棱锥P−ABC的体积是4 3，则正三棱锥P−ABC外接球的表面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=a−1+ai(a∈R)．
(1)若z是纯虚数，求a；
(2)若|z|= 5，求z．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E为CC1的中点．
(1)求证：AC1//平面BDE；
(2)当点F在棱DD1的中点时，求证：平面AC1F//平面BDE．
17.(本小题15分)
如图，已知点P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)PC⊥EF．
18.(本小题17分)
某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：
(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)；
(2)补全频率分布直方图；
(3)若成绩在[80,100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人．
19.(本小题17分)
已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形．
(1)求证：AC⊥PD；
(2)求点D到平面PBC的距离；
(3)若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.A
5.C
6.A
7.A
8.D
9.ABD
10.ABD
11.AC
12.−1
13.6
14.25π
15.解：(1)若z是纯虚数，
则a−1=0a≠0，
所以a=1．
(2)因为|z|= (a−1)2+a2= 5，
所以a2−a−2=0，
所以a=2或a=−1．
当a=2时，z=1+2i，z=1−2i，
当a=−1时，z=−2−i，z=−2+i．
16.证明：(1)连接AC，设AC∩BD=O，连接OE，
∵O、E为别为AC、CC1的中点，
∴OE//AC1，
又AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴AC1//平面BDE．
(2)∵点F为棱DD1中点，E为CC1的中点．
∴DF//C1E且DF=12DD1=12CC1=C1E，
∴四边形DFC1E为平行四边形，
∴FC1//DE，
又FC1⊄平面BDE，DE⊂平面BDE，
∴FC1//平面BDE，
又AC1//平面BDE，且FC1∩AC1=C1，FC1，AC1⊂平面AC1F，
∴平面AC1F//平面BDE．
17.证明：(1)点P为△ABC所在平面外一点，
PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，
∵BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵AB∩PA=A，AB，PA⊂平面PAB，
∴BC⊥平面PAB；
(2)由(1)得BC⊥平面PAB，
∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，
∵AE⊥PB，PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
∴AE⊥平面PBC，
∵PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC，
∵AF⊥PC，AE∩AF=A，AE，AF⊂平面AEF，
∴PC⊥平面AEF，
∵EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF．
18.(1)由已知样本容量为50，故第二组的频数为0.16×50=8，
第三组的频率为1050=0.20，
第四组的频数为：50−(4+8+10+16)=12，频率为1250=0.24，
故频率分布表为：
(2)因为[90,100]这一组的高为0.2410=0.024，
所以补全的频率分布直方图如下所示：
(3)样本中成绩在[80,100]的频率为0.32+0.24=0.56，
所以估计该校获得环保纪念勋章的学生有900×0.56=504人．
19.(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，
所以PO⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，
因为PO∩BD=O，PO，BD⊂平面PBD，所以AC⊥平面PBD，
因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD；
(2)由题意可得△ABD、△BCD与△PBD都是边长为2的等边三角形，
所以PO=AO=CO= 3，S△BDC=12×2× 3= 3，
所以PC= PO2+CO2= 6，
因为BP=BD=BC=2，
所以S△PBC=12× 6× 22−( 62)2= 152，
设点D到平面PBC的距离为ℎ，
由VD−PBC=VP−BDC，得13S△PBC⋅ℎ=13S△BDC⋅OP，
即 152ℎ= 3× 3，解得ℎ=2 155，
故点D到平面PBC的距离为2 155；
(3)设直线PE与平面PBC所成的角为θ，
因为AD//BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
所以AD//平面PBC，
所以E到平面PBC的距离即为D到平面PBC的距离ℎ．
如图，
过E作垂线EF⊥平面PBC交于点F，则θ=∠EPF，
此时sinθ=EFPE=2 155PE，
由(2)知PA=PC= 6，PD=AD=2，
所以S△PAD=12× 6× 22−( 62)2= 152，
则△PAD的边AD上的高为 152，
所以 152≤PE≤ 6，
又sinθ=2 155PE，
所以 105≤sinθ≤45．
分组
频数
频率
[50,60)
4
0.08
[60,70)
0.16
[70,80)
10
[80,90)
16
0.32
[90,100]
合计
50
分组
频数
频率
[50,60)
4
0.08
[60.70)
8
0.16
[70,80)
10
0.20
[80.90)
16
0.32
[90,100]
12
0.24
合计
50
1