河南省信阳市浉河区信阳高级中学（北湖校区）2025-2026学年高二上学期开学数学试题（含答案）含答案解析

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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数z满足，则z= （ ）
A．-1+iB．-1-iC．1+iD．1-i
3．“百日冲刺”是学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，某班主任根据历年学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个关于经过时间（单位：天）与增加总分数（单位：分）的函数模型为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，.已知某学生在“百日冲刺”前的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分为（ ）
A．442B．452C．462D．472
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异.不放回地取两次，每次取出一个.事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A．B．
C．事件与互斥D．事件与相互独立
7．已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外无差异．不放回地取两次，每次取出一个．事件“两次取出球的标号为1和4”，事件“第二次取出球的标号为4”，事件“两次取出球的标号之和为5”，则（ ）
A．B．
C．事件与不互斥D．事件与相互独立
10．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，，，则三角形有两解
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为钝角三角形
11．已知函数，若函数有6个零点，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．样本数据11，14，5，6，8，1，3，9的下四分位数是 ．
13．已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ．
14．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个零点，且在上单调递减，则的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知直线的方程为．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线交坐标轴正半轴于，两点，当面积最小时，求的周长．
16．（15分）已知函数．
(1)若的定义域为，求实数的取值范围；
(2)若的值域为，求实数的取值范围．
17．（15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）.
(1)已知，，
（i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
（ii）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；
(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.
18．（17分）在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接.
（1）证明：；
（2）连接，求与底面所成角的正切值；
（3）求二面角的平面角的正切值.
19．（17分）在中，角，，的对边分别为，，．且满足．
(1)求角的大小；
(2)若的面积，内切圆的半径为，求；
(3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值．