广东省东莞市光明中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省东莞市光明中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题求的．
1. 已知点、，则过、两点的直线斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由斜率公式可求得直线的斜率.
【详解】已知点、，则过、两点的直线斜率为.
故选：A.
2. 向量，，若，则（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量平行可得出关于、的方程组，解之即可.
【详解】因为向量，，且，
则，解得，
故选：C.
3. 若空间向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为空间向量，，
则，
因此，.
故选：C.
4. 已知直线的倾斜角为，在轴上的截距是，则直线的方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.
【详解】由题意可知，直线的斜率为，
又因为该直线在轴上的截距是，故直线的方程为.
故选：C.
5. 已知圆的方程是，则圆心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心坐标.
【详解】圆的方程可化为，圆心的坐标是.
故选：A.
6. 若椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出该椭圆的标准方程.
【详解】因为椭圆的右焦点坐标是，长轴长是，
则，可得，所以，该椭圆的标准方程为.
故选：A
7. 已知向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量夹角余弦公式计算求角.
【详解】设与的夹角为,
所以,又因为,所以.
故选：C.
8. 已知点， 若直线与线段AB 相交，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知可得直线过定点，求得，，数形结合可求的取值范围.
【详解】由直线方程，可知直线过定点，
，，
作出示意图如图所示：直线与线段相交，

则可得或，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可.
【详解】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量，
则平面的法向量与平行，因为，，
向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量.
故选：AD.
10. 下列说法一定正确的是（ ）
A. 过点的直线方程为
B. 直线的倾斜角为
C. 若，，则直线不经过第三象限
D. 过、两点的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错；
对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错；
对于C选项，因为，，则直线的方程可化为，
故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对；
对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时，
则该直线的两点式方程为，可化为，
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足，
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足，
综上所述，过、两点的直线方程为，D对.
故选：CD.
11. 已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线被圆截得的弦长为B. 的最大值
C. 的最大值为D. 的最大值为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解.
【详解】对于A选项，实数、满足方程，
所以把看作是以2,1为圆心，以为半径的圆上点，
由点到直线距离公式得圆心到直线的距离，
于是弦长，故A错误；
对于B选项，原点到圆心距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为，
所以，即，
所以的最大值为，故B错误；
对于C选项，令，则直线与圆有公共点，所以，，
解得，所以的最大值为，故C正确；
对于D选项，令，则直线与圆有公共点，所以，
解得，所以的最大值为，故D正确.
故选：CD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 直线与间的距离为______
【答案】##
【解析】
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】将直线化为，
所以两平行直线间的距离.
故答案为：.
13. 若直线与直线平行，且与间的距离为，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】根据两直线平行可求出的值，根据平行线间的距离公式求出的值，即可求得的值.
【详解】因为直线与直线平行，
则，解得，
所以，直线的方程为，可化为，
因为与间的距离为，则，解得或，
当时，；
当时，.
故答案为：或.
14. 已知点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则周长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆心到直线的距离，确定动点到圆心的最短距离，从而得出切线长进而求出的周长表达式，再根据函数单调性求出最小值.
【详解】设圆心到直线的动点Px,y的距离为PC，
根据点到直线距离公式，.
因为，是圆的切线，所以（其中）.
又因为是直角三角形，由勾股定理可得，即.
的周长为.
因为是圆的弦，且和全等，所以.
根据三角形面积公式，（其中是圆的半径），
可得，所以，
则的周长.
因为与均在上单调递增，
所以当时，周长取得最小值. 最小值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
（1）经过点，平行于直线；
（2）经过点，点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行确定斜率，再由点斜式即可求解；
（2）先求得斜率，再由点斜式即可求解.
【小问1详解】
由题可知，所求直线斜率为3，故方程为，整理得.
【小问2详解】
由条件可得斜率，故方程为：，
整理得：
16. 直线的方程为，.
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程；
（2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可；
（2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解.
【小问1详解】
当即时，直线的方程为，不满足题意；
当，即时，令得，令，得，
由截距相等得，解得或，
当时，直线的方程为，当时，直线的方程为，
故综上所述，所求直线的方程为或．
【小问2详解】
由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、，
所以，解得，
所以的面积，

由题意知，化简得，解得或，均满足条件，
所以或．
17. 如图所示，在三棱锥中，，直线两两垂直，点分别为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得..
（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，再分别求平面和平面的法向量，进而用空间向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
由点分别为棱的中点，得，又平面，平面，
所以平面ADE.
【小问2详解】
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的法向量为，则，取，得，
由平面，得平面的一个法向量为，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
18. 已知圆的圆心在直线上，且过点，
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆交于、两点，求线段的长度.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）因为圆心在直线上，设，根据，即可求得圆心和半径；
（2）利用垂径定理可得线段的长.
【小问1详解】
设圆心为，因为圆过点，，则
，解得：，
则半径，
则圆的方程为：.
【小问2详解】
圆心到直线的距离为，
则.
19. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知阳马中，侧棱底面；且，在的中点中选择一个记为点，使得四面体为鳖臑．
（1）确定点的位置，并证明四面体为鳖臑；
（2）若底面是边长为1的正方形，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可证平面，平面，进而可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，求得平面平面一个法向量与平面的一个法向量，进而利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值．
【小问1详解】
点是的中点，
因为，所以，
又因为底面，底面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
由，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以，所以四面体为鳖臑；
【小问2详解】
如图，分别以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
则，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
设平面一个法向量为，
则，令，则，
所以平面一个法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．