四川省资阳市安岳中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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考试时间：150分钟；满分：150分；
一、单选题（每小题5分，共计40分）
1. 已知，则等于（ ）
A. 10B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用向量的数量积的坐标运算公式，准确计算即可求解.
【详解】由向量，可得，
所以.
故选：B.
2. 已知点是的重心，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
3. 等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用，利用两角和的余弦公式求解即可.
【详解】因为
，
故选：D.
4. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象先确定的值及周期，进而得到，分类讨论，结合函数图象过点，求出的值即可.
【详解】根据函数图象可得,
由周期,
即，
当时，，
又函数图象过点，
则，
所以,
即，
又因为，故，
则；
当时，，
又函数图象过点，
则，
所以,
即，
又因为，故，
则
，
综上知，，
故选：A.
5. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由两角差的正弦公式求，由二倍角的正切公式求，由二倍角的正弦公式求，即可根据正弦函数的单调性比较大小．
【详解】，
，
，
正弦函数在是单调递增的，．
又 ．
故选：A．
6. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解.
【详解】因，则，
因为，则，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
7. 如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果.
【详解】由题意可得，
，
当与正六边形的边垂直时，，
当点运动到正六边形顶点时，，
所以，则，即.
故选：B
8. 已知在中，，.为所在平面内一点，且满足，为中点，且，则的面积为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得三点共线，即可得到垂直平分，所以，由余弦定理求出，从而求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】因为，又因为，所以三点共线，
又，即为的外心，所以垂直平分，即垂直平分，
又已知，所以，
又因为，所以由余弦定理有，
又，所以，
所以，
即的面积为.
故选：C
二、多选题（每小题5分，共计20分）
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 的图象关于点对称
C. 在上单调递增
D. 直线是图象的一条对称轴
【答案】AC
【解析】
【分析】化简得，分析的最大值，对称中心，对称轴，单调性判断各个选项.
【详解】,
对A：的最大值为2，故A正确；
对B：因为，所以不是的对称中心，故B错误；
对C：当时，，而在上为增函数，故在上单调递增，故C正确；
对D： ，所以直线不是图象的一条对称轴，故D错误；
故选：AC
10. 已知平面向量，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A.由共线向量定理求解判断；B.利用向量的数量积运算求解判断；C.利用向量的模公式求解判断；D.由向量的夹角公式求解判断.
【详解】A.若，则，解得，故正确；
B.若，则，解得，故正确；
C.若，或，故错误；
D.若，则，解得，故正确，
故选：ABD
11. 对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度（单位：）与时间（单位：）近似地满足函数关系，其中．已知当天开始计时时的温度为，第二天凌晨3：00时温度最低为，则（ ）
A.
B. 当天下午3：00温度最高
C. 温度为是当天晚上7：00
D. 从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据题意得到时，，时温度最低，为，然后带入解析式得到；BCD选项，根据三角函数的性质判断.
【详解】时，，，
第二天凌晨3：00最低为，此时，
∴，∴，A对．
，令即时取最大值，对应下午3：00，B对．
，或10，上午11：00或下午7：00，C错．
时，，D对.
故选：ABD．
12. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则b的取值范围是
D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】选项A，因为，即，
所以有
整理可得，所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确.
选项C，如图，若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
选项D，的平分线交于点D，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，
即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13. 已知，，且，则在上的投影向量为______
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算，结合向量的投影计算即可得出结果.
【详解】设，由可知①，
而，
所以
由可得②，
由①②可得，解得，则，
所以或者，
又，则向量在上的投影向量是.
故答案为：.
14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】在中，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的面积为.
故答案为：3
15. 若，，且，，则______；
【答案】
【解析】
【分析】由，可进一步确定，，再利用三角和差公式可求.
【详解】，，又，
，，
，，，
，，
，
，
，
故答案为：.
16. 如图，已知正方形的边长为，在延长线上，且．动点从点出发沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，则下列命题正确的是____________．（填上所有正确命题的序号）
①；
②当点为中点时，；
③若，则点有且只有一个；
④的最大值为；
⑤的最大值为．
【答案】①②④⑤
【解析】
【分析】建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算将有关问题转化为点的坐标的有关问题，即可逐一作出判断.
【详解】建立如图所示的坐标系，则，，
故，，=.
设点的坐标,则，易得.
①由的运行轨迹可知，所以，故①正确；
②当点为中点时，,,，故②正确；
③由时，直线经过，与线段交于点,
所以使得的点有两个，故③错误；
④，显然当直线平行移动，
经过点时取得最大值3,故④正确.
⑤由于在的方向上的投影在与重合时取得最大值，
此时取得最大值，，故⑤正确．
故答案为：①②④⑤
四、解答题（共计70分）
17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正切函数两角和公式直接计算即可；
（2）利用正弦和余弦的二倍角公式结合同角三角函数关系求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
解得.
【小问2详解】
由题意得，
分子分母同除得.
故原式.
18. 在中，内角对应的边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角化简题中等式即可；（2）直接运用余弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
因为，代入化简得，
因为，所以，
所以，又因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
代入数据解得.
19. 已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）与的夹角；
（3）若向量与平行，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入向量模公式，即可求解；
（2）代入向量夹角的余弦公式，即可求解；
（3）代入向量共线定理，即可求解.
【小问1详解】
，
，
【小问2详解】
，
，
，
即，所以与的夹角为；
【小问3详解】
若向量与平行，
则，，
得或，
所以的值为.
20. 已知向量，，记函数.
（1）求函数在上的取值范围；
（2）若为偶函数，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函数为，最后根据余弦函数性质求值域；
（2）先根据为偶函数求得，再求的最小值.
【详解】解：（1）
则∵，
∴的取值范围为.
（2）因为为偶函数，
所以
因此当时.
【点睛】本题考查向量数量积、二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式、余弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.
21. 在中，角所对的边分别是、、，且，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理即可求得，再利用由正弦定理可求得，结合边长大小关系可得，所以可得；
（2）利用三角形内角和以及诱导公式可得，再由两角和的余弦公式代入计算可得结果.
【小问1详解】
由余弦定理以及可得，
又，可得；
再由并利用正弦定理可得，
解得，
易知，所以，即；
所以，
即
【小问2详解】
由（1）中以及可得，
所以
；
可得.
22. 如图：在中，已知与交于点．

（1）用向量表示向量；
（2）过点作直线，分别交线段于点，设，若，，当取得最小值时，求模长．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）设，将向量分别用和表示，根据三点共线可求的值；；
（2）将向量用表示，由三点共线，可得，由基本不等式可解.
【小问1详解】
设，将代入，
得,因为三点共线，且三点共线，
所以，得
即．
【小问2详解】
，
则，因为三点共线，
则，即
当且仅当，即时取得等号．
此时
.