湖南省怀化市2025-2026学年高二上学期期末考试数学含答案（word版+pdf版）

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1. 抛物线 x2=2026y 的焦点坐标为
A. 0,1013B. 0,10132 C. 1013,0D. 10132,0
2. 已知 a=x,1,2x−1,b=x,−4,−1 . 若 a⊥b ,则 x 的值为
A. -1 B. 3 C. -1 或 3 D. -3 或 1
3. 已知直线 x+3y−1=0 的倾斜角为 α ,则 α 的值为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
4. 已知双曲线 C:x24−y212=1 的左右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上一点且 PF1=6 , 则 PF2=
A. 2 B. 10 C. 2 或 10 D. 4 或 8
5. 已知 an=n2+n ,则 1a1+1a2+1a3+⋯+1a10=
A. 910 B. 109 C. 1011 D. 1110
6. 如图，在平行六面体 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=AD=AA1=1 ， ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60∘ ,则 BD1 的长为
A. 2 B. 2C. 6 D. 6
7. 若 ∀x1>x2>1 ,有 lnx1−lnx21 B. k≥1 C. k≥e D. k>e
8. 设 F1,F2 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1 的左、右焦点,圆 x2+y2=a2−b2 与椭圆 C 在第一象限内的交点为 P ,延长 PF2 与椭圆 C 交于点 Q ,若 PF2=2QF2 ,则椭圆 C 的离心率为
A. 53 B. 23 C. 23 D. 13
二、多项选择题:本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中， E 为线段 DD1 中点， 则下列说法正确的是
A. 直线 B1D1 与 BE 是异面直线
B. CD1// 平面 A1BE
C. AC⊥BE
D. 三棱锥 B1−A1BE 的体积为 43
10. 已知直线 l:kx−y−2k=0 与圆 M:x2+y2−6x−2y+1=0 ,则下列说法正确的是
A. 圆 M 的半径为 3 B. 直线 l 恒过定点 2,0
C. 存在实数 k ,使得直线 l 与圆 M 相切 D. 若 k=1 ,直线 l 被圆 M 截得的弦长为 3
11. 已知函数 fx=x3+3x2+ax+b,∃b∈R ,使得 fx 有三个零点 x1,x2,x3 ,且 x10 的右焦点 F21,0 ，离心率为 105 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)若过动点 H 作椭圆 C 的两条切线 HM,HNM,N为切点 ，恒有 HM⊥HN .
① 求动点 H 的轨迹方程；
②动点 H 的轨迹曲线与 y 轴正、负半轴的交点分别为 Q,P ，直线 PF2 与椭圆 C 交于
A,B 两点(点 A 在 x 轴上方),设 △PBQ,△BF2Q,△AF2Q 的面积依次分别是 S1,S2,S3 , 求 S1+S3S2+S3 的值.
19. (本小题满分 17 分)
设函数 fx=lnx−ax ,其中 a∈R .
(1)若 fx≤0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)若函数 gx=xfx−x+a 恰有两个极值点，记为 x1 ， x2 ，且 x13 .
(3)求证: 1n>ln1+1n>33n+2,n∈N∗ .