苏科版（2024）九年级下册用锐角三角函数解决问题同步测试题

这是一份苏科版（2024）九年级下册用锐角三角函数解决问题同步测试题，共11页。
C．都缩小为原来的D．不能确定是否发生变化
2. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sin A=，BC =4，则AB的长是（ ）
A. 6 B. C. D.
3. 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ ）
A. B. C. D.
4. △ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A. B．tan C = 2 C． D．tan=1

5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，csA＝，则AC等于（ ）
A．18B．2C．D．
6．如图，△ABC在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置．如果△ABC的面积为10，且sinA＝，那么点C的位置可以在（ ）
A．点C1处B．点C2处C．点C3处D．点C4处
7．如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB＝20米，AC＝30米，∠A＝150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（ ）
A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元
8．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（ ）
A．AC10NB．SHIETC．MODED．SHIFT
9．一个三角形的一边是2m，这边上的中线为m，另两边之和为m+m，则这个三角形的面积是（ ）
A．m2B． m2C． m2D．3m2
10．水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD＝6m，坝高DE＝24m，斜坡AB的坡角是45°，斜坡CD的坡比i＝1：2，则坝底BC的长是（ ）m．
A．30+8B．30+24C．42D．78

二．填空题
11．如图，B、C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60 m，则点A到对岸BC的距离是 m．
12. 如图，在 Rt△ABC中， ∠C=90∘， AC=4，AB=5，则 sinB=________.

13．若△ABC中，∠C＝90°，则是∠A的 函数．
14 地面控制点测得一飞机的仰角为45∘，若此时地面控制点与该飞机的距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是________米（结果保留根号）．
15. 已知Rt△ABC中，两直角边a=7，b=10，则tanB⋅sinA=________．
16 一个人从山下沿30∘的山坡走了500米，则此人上升了________米．
17．△ABC中，∠C＝90°，csA＝，sinB＝|n|﹣，则n＝ ．
18．如图所示，△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，AB＝，则AC＝ ，BC＝ ．
三．解答题
19如图，△ABC中，D为BC边上的一点，若∠B＝36°，AB＝AC＝BD＝2．
（1）求CD的长；
（2）利用此图求sin18°的值．
20．如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA′．
（1）判断四边形ACC′A的形状，并说明理由．
（2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cs∠BAC＝，求CB的长．
21如图，在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，分别以点B，D为圆心，AB长为半径在BD的右侧作弧，两弧交于点C，分别连接BC，DC，AC，记AC与BD的交点为O．
（1）补全图形，求∠AOB的度数并说明理由；
（2）若AB＝5，cs∠ABD＝，求BD的长．
22如图，小华家的住宅楼AB与北京奥运会主体育场鸟巢隔水相望且能看到鸟巢的最高处CD，两建筑物的底部在同一水平面上，视野开阔，但不能直接到达，小华为了测量鸟巢的最大高度CD，只能利用所在住宅楼的地理位置．现在小华仅有的测量工具是皮尺和测角仪（皮尺可测量长度，测角仪可测量仰角、俯角），请你帮助小华设计一个测量鸟巢的最大高度的方案．
（1）要求写出测量步骤和必需的测量数据（用字母表示）并画出测量图形（测角仪高度忽略不计）；
（2）利用小华测量的数据（用字母表示），写出计算鸟巢最大高度CD的表达式．
23．如图，点A、B为地球仪的南、北极点，直线AB与放置地球仪的平面交于点D，所成的角度约为67°，半径OC所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E．DE＝15cm，AD＝14cm．求半径OA的长．（精确到0.1cm） （参考数据：sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.36）
24．某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O，且OB＝OD，支架CD与水平线AE垂直，∠BAC＝30°，∠CDE＝45°，DE＝80cm，AC＝180cm．
（1）求支架CD的长；
（2）求真空热水管AB的长．（结果保留根号）
参考答案与试题解析
1. A 2. A 3.A 4. C 5.D 6.D 7.B 8. D 9. B 10. D
11．30米．
12.45
13.34
14.202
15．解：△ABC中，∠C＝90°，是∠A的对边与邻边的比值，
∴是∠A的正切函数．
16．解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴sinB＝csA，
∴|n|﹣＝，
∴|n|＝1，
∴n＝±1．
故答案为±1．
17．解：作AE⊥BC于E点．
在Rt△ABE中，∠B＝45°，
则△ABC为等腰直角三角形，
∴AE＝BE＝；
在Rt△ACE中，
可得∠CAE＝30°，
则CE＝tan30°×AB＝，
AC＝＝，
故BC＝BE+CE＝．
18．解：设直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝c＝13cm，BC＝a，AC＝b，
设a＜b，较小锐角α就是∠A，
根据条件可得：，解得：，
∴锐角α的各三角函数值分别是：sinα＝，csα＝，tanα＝，ctα＝．
19【答案】
增大．
【解答】
解：（1）∵ CA⊥AO，
∴ △FOA和△EOA均为直角三角形．
∴ tan∠AOF=AFOA，tan∠AOE=EAOA．
∴ tan∠AOF>tan∠AOE．
（2）由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．
20．解：（1）四边形ACC'A'是菱形．理由如下：
由平移的性质得到：AC∥A′C′，且AC＝A′C′，
则四边形ACC'A'是平行四边形．
又∵CD平分∠ACB的外角，
∴∠ACA′＝∠A'CC'，
∵AA'∥BB'，
∴∠C'CA'＝∠AA'C，
∴∠AA'C＝∠ACA'，
∴AA'＝AC，
∴四边形ACC'A'是菱形．
（2）∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝24，cs∠BAC＝，
∴cs∠BAC＝＝，即＝，
∴AC＝26．
∴由勾股定理知：BC＝＝＝10．
21．解：（1）补全的图形，如图所示，可得出∠AOB＝90°，理由如下：
证明：由题意可知BC＝AB，DC＝AB，
∵在△ABD中，∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴BC＝DC＝AD＝AB，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OB＝OD．
在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，AB＝5，cs∠ABD＝，
∴OB＝AB•cs∠ABD＝3，
∴BD＝2OB＝6．
22．解：（1）如图，连接AD、AC，过点A作AE⊥CD，垂足为E．测量步骤为：
①测量楼顶到地面的高度AB＝a（米）；
②在楼顶处测点D的俯角∠EAD＝α；
③在楼顶处测点C的仰角∠EAC＝β．
（2）在Rt△AED中，DE＝AB＝a，
∵∠ADE＝90°﹣α∴AE＝DEtan（90°﹣α）＝atan（90°﹣α），
在Rt△AEC中，CE＝AEtanβ＝atan（90°﹣α）tanβ，
∴CD＝DE+CE＝a+atanβtan（90°﹣α）＝a[1+tanβtan（90°﹣α）]．
23．解：在Rt△ODE中，DE＝15，∠ODE＝67°，
∵cs∠ODE＝，
∴OD≈≈38.46（cm），
∴OA＝OD﹣AD≈38.46﹣14≈24.5（cm）．
答：半径OA的长约为24.5cm．
24．解：（1）在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，DE＝80cm，
∴CD＝80×cs45°＝80×＝40（cm），
答：支架CD的长为40cm；
（2）在Rt△OAC中，∠BAC＝30°，AC＝180cm，
∴OC＝AC×tan30°＝180×＝60（cm），
∴OD＝OC﹣CD＝60﹣40（cm），
∴AB＝AO﹣OB＝AO﹣OD＝60×2﹣（60﹣40）
＝60+40（cm），
答：真空热水管AB的长为（60+40）cm．