2026年 中考数学第一轮专项训练：二次函数-动态几何问题 [含答案]

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1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
2．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；
（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于点O，A，顶点为B，动点E在抛物线对称轴上，点F在对称轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF =//OC，连接OE，CF得四边形OCFE．
（1）求B点坐标；
（2）当tan∠EOC= 43 时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；
（3）当0＜tan∠EOC＜3时，对于每一个确定的tan∠EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个，当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tan∠EOC．
4．若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=﹣2x2+4x+2与C2：y2=﹣x2+mx+n为“友好抛物线”．
（1）求抛物线C2的解析式．
（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQ⊥x轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（﹣1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90°得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由．
5．如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与直线AB交于 A(−1，0) 、 B(2，3) 两点，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABD的面积；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为 (−1,0) ，且 OA=OC=4OB ，抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象经过 A,B,C 三点.
（1）求 A,C 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 P 是直线 AC 下方的抛物线上的一个动点，作 PD⊥AC 于点 D ，当 PD 的值最大时，求此时点 P 的坐标及 PD 的最大值.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点P从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．过点P作PD⊥AC于点D（点P不与点A、B重合），作∠DPQ=60°，边PQ交射线DC于点Q．设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段DC的长；
（2）当点Q与点C重合时，求t的值；
（3）设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（4）当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．
8．已知，经过点A（－4，4）的抛物线y=ax2+bx与x轴相交于点B（－3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；
（3）如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使∠CAO＝∠BAO？若存在，请求出直线AC解析式；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ＝60°，射线PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明理由．
10．已知二次函数y = -x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）连接MC、BC、BM，画出图象并求出△MCB的面积S△MCB．
11．已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点（1，4）和（0，3）两点，与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧）．
（1）求二次函数的表达式及对称轴；
（2）若点P在此抛物线上，且在x轴上方，求△PAB的最大面积．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y= 14x2+mx+n 的图象经过点A（2，0）和点B（1，﹣ 34 ），直线l经过抛物线的顶点且与y轴垂直，垂足为Q．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y1随时间t（t≥0）的变化规律为y1=﹣ 34 +2t．现以线段OP为直径作⊙C．
①当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与⊙C的位置关系，并说明理由；在点P运动的过程中，直线l与⊙C是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．
②若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足Q的纵坐标y2随时间t的变化规律为y2=﹣1+3t，则当t在什么范围内变化时，直线l与⊙C相交？此时，若直线l被⊙C所截得的弦长为a，试求a2的最大值．
13．如图，抛物线 y=x2+x−2 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于点 C .
（1）求点 A ，点 B 和点 C 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点 P ，求 PB+PC 的值最小时的点 P 的坐标；
（3）若点 M 是直线 AC 下方抛物线上一动点， M 运动到何处时四边形 ABCM 面积最大，最大值面积是多少？
14．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）点A，B的坐标分别是A ，B ；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
15．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与y轴交于点 C(0，−5) ，与 x 轴交于点A和点B，其中点B的坐标为 (5,0) 抛物线对称轴为直线 x=2 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当 0