广东省广雅中学高一下学期3月阶段性测试数学试题（解析版）(1)-A4

这是一份广东省广雅中学高一下学期3月阶段性测试数学试题（解析版）(1)-A4，共16页。
1．答题卡前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内；
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 已知，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的坐标表示列方程求点的坐标.
【详解】设点，则向量，
所以，即，对应的点B坐标为．
故选：C
2. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基底中的向量不共线，即可判断各项是否能作为基底.
【详解】A：，显然共线，无法作为基底；
B：，显然共线，无法作为基底；
C：中含有零向量，显然共线，无法作为基底；
D：令，则，显然无解，说明向量组不共线，可作为基底．
故选：D
3. 给定两个向量，若，则等于（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量加减法的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数值.
【详解】由题设
故选：C
4. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解判断.
【详解】单位向量满足，则，
所以所求的投影向量为．
故选：B
5. 已知向量，且与的夹角为钝角，在实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用向量夹角的坐标公式求参数范围，注意反向共线的情况，即可得.
【详解】因为向量，且与的夹角为钝角，
所以，可得，
注意，需排除反向共线的情况，此时，即，
综上，．
故选：B
6. 在平行四边形中，是边靠近的三等分点，与交于点，设，则（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题设及向量对应线段的位置关系得、，结合即可得.
【详解】由，，所以，
由题意，则，
由.
故选：A
7. 如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（ ）
A. 60B. C. 30D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系，结合差角的正切求解.
【详解】依题意，，
则，
，
所以峡谷宽度；.
故选：A
8. 向量是互相垂直单位向量，向量满足，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，，将问题化为圆上的点到点的距离，即可得.
【详解】已知向量，是互相垂直的单位向量，
设，，，
由，则，
由，，
其几何意义是圆上的点到点的距离，
圆心到的距离为，圆的半径为2，
所以的取值范围是．
故选：D
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于0
C. 若都为非零向量，则使成立的充分必要条件是与反向共线
D. 两个非零向量和，若，则与垂直
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用零向量、单位向量、共线向量及向量数量积运算律依次判断.
【详解】对于A，零向量方向是任意的，A错误；
对于B，零向量的长度为0，B正确；
对于C，与是单位向量，当且仅当与反向共线时，，C正确；
对于D，对两边平方，得，
即，因此与垂直，D正确．
故选：BCD
10. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A. 若A >B， 则
B. ，则
C. 若，则定为直角三角形
D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断.
【详解】对于A，在中，，A正确；
对于B，由余弦定理得，即，
而，解得，B错误；
对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确；
对于D，有两解，则，而，因此，D正确.
故选：ACD
11. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 在上单调递增
C. 函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为
D. 若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据及区间解析式，求函数值判断A；由周期性求相关区间解析式画出草图判断B；数形结合判断与交点情况判断C、D.
【详解】A，因为，，所以，
当时，，则，
所以，对；
B，由，则，故，
其开口向下且对称轴为，所以在上单调递增，对；
C，因为，函数的零点从小到大依次记为，
若，则是与在对称轴为对应区间上的交点横坐标，
在上，则，则，
在上，如下图示，
根据与的交点情况，可得，对；
D，同C分析，若在上有4个零点，由图知，错．
故选：ABC
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且，则_____．
【答案】2024
【解析】
【分析】设，先判断其奇偶性，再应用奇偶性求得，即得，进而求.
详解】设，则，
，
所以是奇函数，，则，
所以，．
故答案为：2024
13. 在中，，，，则_____
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得到，应用向量数量积的定义及运算律求向量的模.
【详解】在中，，，，

根据向量减法法则，又，则，
由，
所以①，
，，，
代入①可得，则．
故答案：
14. 已知中，
①__________；
②为边的中点，若，则__________.
【答案】 ①. ##0.25 ②.
【解析】
【分析】①由同角的三角函数关系，正弦定理边化角，余弦定理求解即可；
②设由余弦定理求解即可；
【详解】，
即
由正弦定理角化边可得
由余弦定理可得；
设
由余弦定理结合①得
在中，在中，
所以，即，
，
等式两边同时除以可得，
解得或（舍去），
所以.
故答案：；.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是能分别在中和中利用余弦定理表示出.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的内角所对的边分别是，
（1）已知，求角和．
（2）已知，解三角形．
【答案】（1），
（2），，．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出角，由正弦定理求出；
（2）由三角形内角和求，利用和角公式求得的值，再由正弦定理求出即可.
【小问1详解】
由余弦定理，，
因为，所以．
由正弦定理，，可得．
【小问2详解】
已知，，则．
由正弦定理，可得．
又
，
再由正弦定理，可得．
综上，，，．
16. 已知向量，若函数．
（1）求的解析式；
（2）求的对称中心和单调递减区间；
（3）若在上有且仅有两个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）对称中心为，，递减区间为，；
（3）．
【解析】
【分析】（1）应用向量数量积的坐标表示及三角恒等变换化简求函数解析式；
（2）利用正弦型函数的性质求对称中心和递减区间；
（3）问题化为在上有且仅有两个解，由正弦函数的性质、图象求参数范围.
【小问1详解】
由

；
【小问2详解】
令，，得，，
所以的对称中心为，．
由，，得，，
所以的单调递减区间为，．
【小问3详解】
已知在上有且仅有两个零点，即在上有且仅有两个解．
当时，．
令，，．
时，；
时，；
时，．
要使与在上有两个交点，则．
17. 已知函数（其中）的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移，再向上平移，得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数的取值范围．
（3）若关于的方程在上恰好有20个根，请直接写出实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据已知图象及正弦函数的性质求参数值，即可得解析式；
（2）由图象平移得到解析式，再由题设将问题化为时，应用正弦型函数的性质求最值，再解不等式求参数范围；
（3）根据已知求的解集，结合在上恰好有20个根及正弦函数的图象分析参数范围.
【小问1详解】
由图象知，且，则，可得，
又，即且，则，得，
故函数的解析式为．
【小问2详解】
由题意，
对任意的，都有成立，即，
，则，显然，
，显然，
所以.
【小问3详解】
由，即，，
则或，得或，．
由，时，；时，；
；时，．
所以，即．
18. 在中，角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围．
（3）若，且是锐角三角形，求内切圆半径的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求解.
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求出范围.
（3）利用等面积法得到内切圆半径的表达式，利用余弦定理转化的表达式，运用正弦定理及三角函数的图象与性质求解.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理，得，
，而，则，又，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，而，由余弦定理，
得，当且仅当时取等号，
因此，解得，而，则，
故的周长的取值范围是.
【小问3详解】
由（2）得，设的内切圆半径为，
由，得，
由（1）及正弦定理，得，，
则，
由为锐角三角形，得，解得，，
则，因此，，
所以内切圆半径的取值范围为.
19. 已知函数的定义域为，非空集合．若对任意，任意且，都有恒成立，就称函数具有性质．
（1）当时，判断下列函数是否具备性质．
①
②
（2）当，函数，若具有性质，求的取值范围．
（3）当，若且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）函数具有性质；函数不具有性质
（2）
（3）为奇数
【解析】
【分析】(1)利用函数的单调性即可解决；反证法，找特值；
(2)结合函数的单调性，利用分类讨论思想，将和分别放在同一单调区间和不同单调区间即可；
(3)特殊值法，将代入，利用常函数且任意性得出函数的周期为，而一个周期内的整数可分为奇数和偶数，在分奇偶的条件下结合常函数的特性即可得出.
【小问1详解】
①因在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，故函数具有性质；
②假设函数具有性质，则对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，而当时，，与假设矛盾，故函数不具有性质；
【小问2详解】
为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，
①若，因 ，则恒成立，满足题意；
②若，对于任意，有，则，
若，则，矛盾；
若，欲使函数具有性质，只需即可，
得，则，即，
综上，的取值范围为.
【小问3详解】
因为且具有性质的函数均为常值函数，
所以当时，恒成立，则的周期为，
设，，
因为常函数，故，，
当时，，则
当时，，则
综上，为奇数.
【点睛】本题以新定义为载体，考查了函数的单调性及运用，考查了逻辑推理能力及对新知识的快速把握，关键在于对新定义的理解.