湖北省武汉市新洲区第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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合题目要求的．
1. 命题“ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】“ ”的否定是“ ”.
故选：D
2. 已知 ，且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基本不等式求 x＋2y 的最小值即可.
【详解】因为 ，
所以 ．
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 恒成立，
所以 ，解得 ．
故选：D.
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3. 已知函数 是幂函数，且在 上递增，则实数 （ ）
A. 2 B. C. 4 D. 2 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用幂函数的定义求出 m 值，再由单调性验证即得.
【详解】因函数 是幂函数，则 ，即 ，解得
或 ，
当 时，函数 在 上递增，则 ，
当 时，函数 在 上递减，不符合要求，
实数 .
故选：B
4. 已知偶函数 在区间 单调递增，则满足 的 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用 为偶函数关于 轴对称，故 越靠近 轴，函数值越小，从而解出不等式.
【详解】因为偶函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上单调递减，故 越靠近 轴，函数值越小，
因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：A.
5. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. 12 C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】根据同角三角函数的平方关系，求出 ，再求出 ，由三角恒等变换化简
后代入求解即可.
【详解】 , ，即 ，
由 可知， ，
， ，
，
故选：A
6. 若将函数 y=2sin2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图像的对称轴为
A. x= （k∈Z）
B. x= （k∈Z）
C. x= （k∈Z）
D. x= （k∈Z）
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
由 ，得 ，即平移后的函数的对称轴方程为 ，
故选 B．
考点：三角函数的图象与性质．
【方法点晴】本题主要考查了三角函数 的图象与性质，着重考查了三角函数的图象
变换及三角函数的对称轴方程的求解，通过将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数的
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解析式 ，即可求解三角函数的性质，同时考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推
理与运算能力．
7. 若函数 在区间 上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的单调增区间，根据 求解范围.
【详解】考虑函数函数 ，
令 ，
，
，
函数 在区间 上单调递增，
则 ，解得 ，所以 k=0，又 ，
所以
故选：B
【点睛】此题考查根据三角函数的单调性求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握单调性的处理方法，准
确求解不等式组.
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8. 若关于 的方程 在 上有实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当 时，令 ，可得出 ，可得出 ，利
用函数的单调性求出函数 在区间 上的值域，可得出关于实数 的不等式，由此可解得实
数 的取值范围.
【详解】当 时，令 ，则 ，可得 ，
设 ，其中 ，任取 、 ，
则 .
当 时， ，则 ，即 ，
所以，函数 在 上为减函数；
当 时， ，则 ，即 ，
所以，函数 在 上为增函数.
所以， ， ， ，则 ，
故函数 在 上的值域为 ，
所以， ，解得 .
故选：A.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
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9. 下列结论正确的是（ ）
A. 是第三象限角
B. 若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为
C. 若角 的终边上有一点 ，则
D. 若角 为锐角，则角 为钝角
【答案】BC
【解析】
【分析】利用象限角的定义可判断 A 选项；利用扇形的面积公式可判断 B 选项；利用三角函数的定义可判
断 C 选项；取 可判断 D 选项.
【详解】对于 A 选项，因为 且 为第二象限角，
故 是第二象限角，A 错；
对于 B 选项，若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的半径为 ，
因此，该扇形 面积为 ，B 对；
对于 C 选项，若角 的终边上有一点 ，则 ，C 对；
对于 D 选项，因为 为锐角，不妨取 ，则 为直角，D 错.
故选：BC.
10. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A. 函数 的最大值为
B. 已知函数 （ 且 ）在（0，1）上是减函数，则实数 a 的取值范围是（1，2]
C. 在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
D. 若 ，则 的值为 1
【答案】BCD
【解析】
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【分析】
直接利用复合函数的性质判定 的结论，利用对数的运算判断 、 的结论，利用函数的对称性判断 的
结论．
【详解】解：对于 ：函数 最小值为 ，故 错误；
对于 ：已知函数 且 在 上是减函数，
所以 ，解得 ，故 正确．
对于 ：同一平面直角坐标系中，由于函数 与 互为反函数，所以他们的图象关于直线
对称，故 正确；
对于 ：由于 ，则 ，则 ，同理 ，
所以 ，故 正确．
故选： ．
【点睛】本题考查复合函数的单调性的应用，复合函数的单调性由“同增异减”的法则判断即可；
11. 已知函数 是偶函数， 是奇函数，当 时， ，则下列选项正确的
是（ ）
A. 在 上为减函数 B. 的最大值是 1
C. 的图象关于直线 对称 D. 在 上
【答案】BCD
【解析】
【分析】
先由已知区间对应的函数解析式，判定函数单调性，再由函数奇偶性可判断 A 错；再由题中条件，确定函
数的周期，以及函数的对称性，根据周期性求出函数值域，进而可判断 BCD 正确.
【详解】因为当 时， ，则函数 在 上递
减，
又函数 是偶函数，所以 在 上为增函数；故 A 错；
因为函数 是偶函数， 是奇函数，
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所以 ， ，则 ，
所以 ，则 ，即 ，
所以 以 为周期；
则 ，所以 关于直线 对称，
因此当 时， ；
当 时， ，则 ，又 ，所以
；
因为偶函数关于 轴对称，所以当 时， ；
综上，当 时， ；
又 是以 为周期的函数，所以 ， ，则 ，故 B 正确；
因为 ，函数 为偶函数，
所以 ，因此 ，所以 的图象关于直线 对称；即 C
正确；
因为 时， 显然恒成立，函数 是以 为周期的函数，
所以 在 上也满足 恒成立；故 D 正确；
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：
求解函数基本性质相关问题时，一般性需要根据题中条件，确定函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
等，利用求解析式的方法求解函数的值域，最值等即可.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 函数 的单调递增区间为______
【答案】
【解析】
【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数单调性分析求解.
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【详解】令 ，解得 或 ，
故函数 的定义域为 .
∵ 在 R 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
13. 化简： _______________．
【答案】
【解析】
【分析】切化弦结合三角恒等变换公式变形化简即可求解.
【详解】由题
.
故答案为： .
14. 函数 ，若方程 恰有三个不同的解，记为 ， ， ，则
的取值范围是________．
【答案】
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【解析】
【分析】作出函数的图像，由 恰有三个不同的解，得 的范围，得到 的对称性，再判断
的范围，利用数形结合求解.
【详解】作出函数的图像如图所示，根据图像可知 恰有三个不同的解时 ，设
，令 ，可得 ，根据对称性可知 关于 对
称，所以 ，又因为 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题利用数形结合的方法求解函数零点问题，解答本题的关键在于作出函数的图像，
利用三角函数的对称性得到 ，再结合图像判断 的范围.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知 ．
（1）若 是第一象限角，求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数与幂函数的运算化简 ，结合 求解 ，结合角度范围可
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得答案．
（2）由诱导公式化简，分子分母同除 ，代入 计算可得结果.
【小问 1 详解】
，
所以 ，又因为 ，可得 ，
因为 是第一象限角，故 .
【小问 2 详解】
.
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 的单调区间；
（3）求 在区间 上的最值．
【答案】（1） ；
（2）答案见解析； （3）最小值为 0，最大值为 2.
【解析】
【分析】（1）先利用三角变换公式把 化成 的形式，利用 求函数周期．
（2）整体换元法求函数的单调区间.
（3）整体换元法求函数的值域．
【小问 1 详解】
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因为 ．
由 ，所以函数 的最小正周期为 ．
【小问 2 详解】
由 得： ．
由 得： ．
所以函数 的单调增区间为 ；单调减区间为 ．
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ．
所以 ，函数在 上的最小值为 0，最大值为 2．
17. 已知函数 .
（1）若函数 为奇函数，求 的值；
（2）当 时，用函数单调性的定义证明：函数 在 上单调递增；
（3）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 得到方程，求出 ，验证后得到答案；
（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；
（3）换元后得到 在 有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，
求出 的取值范围.
【小问 1 详解】
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的定义域为 R，且 为奇函数，
由 ，得 ，
此时 .
因为 ，所以 为奇函数，
故 .
【小问 2 详解】
当 时， .
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增.
【小问 3 详解】
有两个不同的零点，等价于 有两个不同的实数解.
令 ，则 在 有两个不同的实数解，
令 ，其中 ，
所以 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
18. 如图为函数 的部分图象.
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（1）求函数解析式；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）将函数 图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若方程 在
上有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ， ；（3） .
【解析】
【分析】（1）根据图象得到， ， ，从而求得 ，然后再利用函数图象过
点 求解.
（2）利用正弦函数的性质令 ， 求解.
（3）利用三角函数的图象的平移变换得到 ，然后作出其图象，利用数形结合法求
解.
【详解】（1）由题中的图象知， ， ，
所以 ， ，
因为图象过点 ，
所以 ，
解得 ，
，
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，
函数解析式为 ；
（2）令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ；
（3）由题意得 在 上的图象如图所示：
当方程 在 上有两个不相等的实数根时，
由函数的图象可知， 时，有两个不同的实根.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用以及三角函数的图象变换，还考查了数形结合的思想
和运算求解的能力，属于中档题.
19. 已知定义在 上的函数 .
（1）若 ，求实数 的值；
（2）若对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）记 ，若方程 有三个不同的实数解，求实数 的取值
范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
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【分析】（1）将 转化成 ，可得 ，进而求出结果；
（2）原式转化为 ，令 ，令 ， 根据二次函数
的性质求出 的最小值，进而求出 的最小值，从而求出 的范围即可；
（3）根据题意，令 ，方程 有三个不同的实数解，等价于方
程 有两个不同的实数解 ，结合二次函数与根的关系，可得 或
，据此列出不等式组，即可求出结果.
【详解】（1） ， 即 ， 解得： ，所
以 ；
（2）对于任意的 ， ，
等价于对于任意的 ， 恒成立
设 ，
令 ，由于 ，则 ，
故 ，当 时， 取最小值 ， 故 ；
（3）因为 ，
令 ，则方程 等价于 ，
即 ，
又方程 有三个不同的实数解，
所以方程 有两个不同的实数解 ，
又 的图像如下图所示：
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则 或
令 ，
所以 …… ①或 …….②
解不等式组①，得 ；解不等式组②，无解；
综上： .
【点睛】本题考查了二次函数，指数函数的性质，以及函数与方程根的关系，同时考查转化思想以及换元
思想，属于中档题．