湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市新洲区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一部分 (选择题 共 58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设等差数列满足，则（ ）
A 80B. 100C. 120D. 160
【答案】D
【解析】因为数列为等差数列，且，则，
则.
故选：D
2. 若圆与圆的公共弦长为，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】圆与圆两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为，
又，圆心为，半径为2，公共弦长为，
则圆心到直线的距离，
化简得，
解得：．验证知符合题意.
故选：A.

3. 的展开式中含 项的系数为（ ）
A. B. C. 28D. 56
【答案】A
【解析】二项式的展开式的通项公式为
，
令，所以，
所以，
所以展开式中含的项的系数为.
故选：A.
4. 5G 技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A. 由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数
B. 当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位
C. 线性回归方程中
D. 可以预测x=6时， 该商场5G手机销量约为1.72 (千只)
【答案】D
【解析】从数据看，随的增加而增加，故变量与正相关，由于各增量并不相等，故相关系数，故A错误；
根据线性回归方程，可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故B错误；
由已知数据得，，代入中得到，故C错；
将代入中得到，故D正确.
故选：D.
5. 2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则女生人数的期望为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设抽取的女生人数为，则可能取值为0，1，2，
，，
，
所以.
故选：C
6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（ ）
A. 96种B. 132种C. 168种D. 204种
【答案】C
【解析】依题意其余位主播有两种情况：
①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点；
所以不同游玩方法（种）.
故选：C
7. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组.
所以，，
所以.
故选：D
8. 已知函数 若对任意的 ，都有 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】若对任意的 都有 成立，
则成立，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
因为
所以，
，
当时，f'x≥0，在单调递增，
所以，可得，
解得，舍去；
当时，
可得时f'x>0，单调递增，
，解得，舍去；
当时，可得时f'x>0，单调递减，
时f'x>0，单调递增，
所以，
解得；
，f'x>0，在单调递增，
所以，
解得，
综上所述，.
故选：B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题6 分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 对于 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 展开式的各项系数之和为1
C. 展开式的二项式系数之和为512D. 展开式中的含项系数是1792
【答案】BD
【解析】的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，
则第5项为中间项，即，A错误；
的展开式中，通项
令，得，故含的系数为，D正确；
展开式的二项式系数之和为，C错误；
令，可得展开式的各项系数之和为，B正确．
故选：BD．
10. 定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足 (若 则f(x)=lnx+c， c为常数)， 则下列说法正确的是（ ）
A. f(x)在. 处取得极大值，极大值为
B. f(x)恰有两个零点
C. 若 在(0，+∞)上恒成立，则
D.
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，且，可得，
则有，故（为常数），
又f1=0，所以，所以，可得，，
，
当，即时，，
当，即时，，
所以时，取得极大值，极大值为，故A正确；
对于B：，，，，
作出的示意图，如图所示：
根据图象可知，只有一个零点，故B错误；
对于C：要使，在(0，+∞)上恒成立，
即在恒成立，
因为，所以恒成立，
只需，令，
求导可得，
当时，，当时，，
所以，所以，故C正确；
对于D：根据，单调递增，，单调递减，
因为，可得，
又，，
故，故D正确.
故选：ACD.
11. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：
用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ）
A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植
B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大
C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145
D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则
【答案】BC
【解析】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A错误；
若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，
，
则，且，
可得，且，
所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确；
记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；
事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽；
根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：
，故C正确；
由题意可知X服从二项分布，，
所以，故D错误；
故选：BC
第二部分 (非选择题 共92 分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若 则n=__________.
【答案】4或6
【解析】由，可得或，
解得或.经检验成立
故答案为：或.
13. 已知某批产品的质量指标服从正态分布， 其中的产品为合格产品，则在件该产品中合格产品件数约为_________.
参考数据：若，则，
，
【答案】840
【解析】由题意知，该产品服从，则，
所以
，
即抽到“合格产品”的概率为，则在件该产品中合格产品件数约为.
故答案为：.
14.如图所示,设点F是双曲线与抛物线 的公共焦点，B是上的一点，若双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，双曲线的离心率为e，则_______.
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
设，的斜率为，中点，
因为双曲线一条渐近线恰好垂直平分BF，
所以，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，所以，，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步槩.
15. 已知数列的前n项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
解：（1）当时，，
所以；
当时，由，
则，
可得，
整理得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
故．
（2）由（1）可得：，
则，
，
两式相减得：
，
所以．
16.如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC=1，PA=AD=2，AD=3AE，Q为PD的中点.

（1）求证: 平面PCD⊥平面ABQ;
（2）求二面角A-BQ-E的正弦值.
解：（1）∵平面，平面，∴
又，，且平面，平面，
∴平面，又，∴，
∵，为的中点，所以，
又，且平面，平面，
∴平面，又∵，∴平面⊥平面
（2）以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
所以，
设平面ABQ的法向量为，
则 ，取，则，
设平面BQE的一个法向量为，
则，取则，
则
所以二面角的正弦值为，
故所求二面角的正弦值为．
17. 将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向.2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达99.9%，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用.近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
（1）求y关于x的经验回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；
（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：
（i）根据已知条件，填写上述2×2列联表；
（ii）依据α=0.01的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关?参考公式：
1. 回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
2.
解：（1）年份编号的平均数，
销量的平均数，
所以，
又
所以，
于是，
所以关于的经验回归方程为，
又因为年份2024对应的编号为7，
所以，
故可以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台．
（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：
（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得：，
依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关.
18. 中华茶文化源远流长，博大精深，制作复杂.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为 每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
（1）在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率；
（2）每盒绿茶(净重100g)原材料及制作成本为30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为X元，求随机变量X的分布列及数学期望.
解：（1）由三道工序至少有一道工序合格的概率为，得，
解得
记杀青、揉捻、干燥这三道工序加工合格分别为事件A，B，C，
这三道工序加工中恰有两道工序合格记为事件，
则，
，
因此，
所以在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为
（2）由题意可知随机变量的所有可能取值为
则，
，
，
，
则随机变量的分布列为：
故的数学期望为.
19. 已知函数
（1）若，求函数在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设 ， 求函数在上的零点个数.
解：（1）当时，，，且，
所以在点处的切线斜率，
故所求切线方程为，即.
（2）由，所以，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，由，则，若，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，函数在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减.
（3）由，所以，
令，由，所以，可得，
则原题等价于与在上的交点个数，
令，则，
令，则，
由，得，所以上单调递增，
，即，
故在上递增，由，所以在上单调递增，
所以， 即，
当，即时，与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点；
当或 ，即或时，与在无交点，此时在上没有零点；
综上所述：当时，在上只有一个零点；
当或时，在上没有零点.
时间x
1
2
3
4
5
销售量y (千只)
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
年份
2018
2019
2020
2021
2022
年份编号x
1
2
3
4
5
销量y (万台)
2
3.5
2.5
8
9

了解
不了解
合计
男生

25

女生
20


合计



α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合计
男生
35
25
60
女生
20
40
60
合计
55
65
120