2024-2025学年湖北省武汉市新洲区第一中学邾城校区高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖北省武汉市新洲区第一中学邾城校区高二下学期期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列an为等比数列，其前n项和Sn=2n+m，则首项a1=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
2.某班从包括甲乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有( )
A. 32B. 30C. 25D. 20
3.已知命题P：“∃x∈[1,4]，x2−mx+4≥0”，则命题P是假命题的充要条件是( )
A. m>5B. m≥5C. m>4D. m≥4
4.若直线y=2x+1是曲线y=lnx+x−a的切线，则实数a=( )
A. −1B. 1C. −2D. 2
5.已知两个线性相关变量x与y的统计数据如下表：
其回归直线方程是y=0.7x+a，据此计算，则样本点在(4,3)处的残差为( )
A. 0.15B. −0.15C. −0.35D. 0.35
6.随机变量X∼B(3,p),Y∼N3,σ2，若P(X≥1)=0.488,P(1≤Y5)=( )
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
7.函数f(x)是定义域为R的偶函数，∀x1,x2∈[0,+∞)且x1≠x2，恒有f(x1)−f(x2)x12−x22> −1，若f(1)=1，则不等式f(x)>2−x2的解集为( )
A. (−1,1)B. (−∞,−1)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)D. (1,+∞)
8.袋中装有大小相同的3个红球和3个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到3个红球全部摸出后就停止.设随机变量X表示停止摸球时摸到白球的个数，则E(X)=( )
A. 115B. 125C. 2310D. 94
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若1x−2xn展开式的所有二项式系数之和为64，则下列说法中正确的有( )
A. n=6
B. 展开式中所有项的系数和为−1
C. 展开式中的常数项为−160
D. 展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项
10.已知f(x)=lgax3−6ax(a>0且a≠1)在区间(2,3)上单调递减，则实数a的取值可以是( )
A. 13B. 32C. 43D. 2
11.已知数列cn共有9项，且满足c1=2，cn+1−cn−1cn+1−cn−2=0，则下列说法正确的是( )
A. 数列cn是公差为1或公差为2的等差数列
B. c9的最小值是10，最大值是18
C. 若c5=8，则满足条件的数组c2,c3,c4的组数共有6组
D. 符合已知条件且满足c5−c1 =c9−c5 的数列cn的个数为70个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数y=g(x)的图像过点(2,4)，若函数f(x)=g(x)⋅lg2a−4x+2为奇函数，则实数a= ．
13.已知数列1an−4n2既是等差数列又是等比数列，且a1=13，则数列an的前50项的和S50= ．
14.已知函数f(x)=lnx,x>0ex+1,x≤0，若函数y=ff(x)a所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合A= xlg2(x−3)≤2，集合B= xx−a2+1x−2a≤0．
(1)当a=−2时，求B∩∁RA；
(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知数列an为等差数列，a2=3，a5=9，数列bn的前n项和为Sn，且满足Sn=2bn−1．
(1)求an和bn的通项公式；
(2)若cn=an⋅bn，求数列{cn}的前n项和为Tn．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lgax2+x+2(a>0,a≠1)在−14,1上的最大值为2，集合A= yy=−3f(x)−1,x∈[0,2]．
(1)求a的值，并用区间的形式表示集合A；
(2)若g(x)=a2x+a−2x−max+a−x+1，对∀x1∈A，都∃x2∈[0,2]，使得x1≥gx2，求实数m的取值范围．
18.(本小题17分)
某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了n位高考考完后的学生，将这n位学生每天体育锻炼的时间(单位：分钟)分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75]五组，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)求a的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数；
(2)假设高考考完后的学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件A=“抽到的学生是运动达人”，B=“抽到的学生是男生”，且P BA=P AB=34．
(i)求P(A)和P(B)；
(ii)假设有95％的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=lnx−x，g(x)=aex−x+lna．
(1)求f(x)的极值；
(2)若g(x)≥0对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程f(x)=g(x)有两个不等实根，求实数a的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】计算出a1=2+m，a2=2，a3=4，根据等比中项的性质求出答案．
【详解】当n=1时，a1=S1=2+m，当n=2时，S2=4+m，
当n=3时，S3=8+m，故a2=S2−S1=4+m−2−m=2，
a3=S3−S2=8+m−4−m=4，
由于an为等比数列，故a1a3=a22，故a1=a22a3=44=1，
故选：A
2.【答案】C
【解析】【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可．
【详解】根据题意，7名学生中，选择4人参加植树活动共有C74=35种方法，
而甲乙都参加的情况有C52=10种方法，
则甲乙两人至多一人参加的方法数有35−10=25种.
故选：C．
3.【答案】A
【解析】【分析】命题P的否定“∀x∈[1,4]，x2−mx+4x+4x在x∈[1,4]上恒成立，则m>x+4xmax，然后求解即可．
【详解】因为命题P是假命题，所以其否定“∀x∈[1,4]，x2−mx+4x+4x在x∈[1,4]上恒成立，令f(x)=x+4x，则m>f(x)max，
f′(x)=1−4x2=x2−4x2，因为x∈[1,4]，所以令f′(x)>0，得22−x2，所以f(x)+x2>2，即g(x)>2=g(1)=f(1)+1，
则|x|>1，解得x∈(−∞,−1)∪(1,+∞)．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】先确定随机变量X的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算E(X)．
【详解】随机变量X表示停止摸球时摸到白球的个数，则X的可能取值为0，1，2，3．
P(X=0)表示在摸出3个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率．
则P(X=0)=A33A63=120．
P(X=1)表示在摸出3个红球时停止摸球，且只摸到1个白球的概率．
则P(X=1)=A31×A31×A33A64=3×3×66×5×4×3=320．
P(X=2)表示在摸出3个红球时停止摸球，且摸到2个白球的概率．
则P(X=2)=C32×C31×A44A65=3×3×246×5×4×3×2=216720=310．
P(X=3)表示在摸出3个红球时停止摸球，且摸到3个白球的概率．
则P(X=3)=C31×A55A66=12．
期望E(X)=0×120+1×320+2×310+3×12=94．
故选：D
9.【答案】AC
【解析】【分析】由二项式系数和为64计算可判断A；令x=1，代入计算可判断B；求得通项公式，令2k−6=0，解得k=3，代入计算可判断C；根据二项式系数C60,C61,⋯,C66的性质即可判断D．
【详解】对于A，由二项式系数和为64得2n=64，解得n=6，故A正确；
对于B，令x=1得11−26=(−1)6=1，故B 错误；
对于C，1x−2x6展开式通项为Tk+1=C6k1x6−k(−2x)k=C6k(−2)kx2k−6，
令2k−6=0，得k=3，即常数项为T4=C63(−2)3x0=−160，故C正确；
对于D，所有项的二项式系数为C60,C61,⋯,C66，最大的为C63，
对应的是第4项，故D错误．
故选：AC
10.【答案】ABD
【解析】【分析】由题意结合对数函数的性质和复合函数的单调性求解实数a的取值范围即可．
【详解】令g(x)=x3−6ax，则g′(x)=3x2−6a=3x+ 2ax− 2a，
令g′(x)=0得，x=− 2a或x= 2a．
当00；
所以g(x)=x3−6ax在0, 2a上单调递减，在 2a,+∞上单调递增．
g(x)min= 2a3−6a 2a=−4a 2a0，x∈(2,3)恒成立．
若a>1，则ℎ(x)在区间(2,3)上单调递减，
则 2a≤2 6a≥3a>1，解得32≤a≤2．
若0