湖北省武汉市新洲区部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份湖北省武汉市新洲区部分学校2024-2025学年高一下学期4月期中质量检测数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设为基底，已知向量，，，若三点共线，则的值是（ ）
A. 2B. -4C. -2D. 3
【答案】B
【解析】因，，
则，
因三点共线，则，即，，而，
则有，即，又与不共线，
于是得，解得，所以k的值是.
故选：B
2. 若复数，则（ ）
A. B. 2C. D. 10
【答案】C
【解析】，则，
故选：C．
3. 角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的纵坐标为，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由任意角的正弦定义可知，
由二倍角的余弦公式可得，
所以.
故选：B.
4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）
A. B. 12C. 12D. 24
【答案】A
【解析】由斜二测画法可知，所以，
所以，所以，
故选：A.
5. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，
，，
在中，，，则，
在中，，
则，
由正弦定理得，，得，
在中，，则，
所以.
故选：C
6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
7. 设函数，，，则可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】因为，且，
所以为函数的最大值和最小值，
不妨设，即，
所以，
又，所以，
所以当时，，即可以是3，
故选：A．
8. 如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边，分别交于点，，设，，（，），则的最小值为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为，，（，），所以，
因为点是线段的中点，所以，则，
又因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选：D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 已知复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的虚部是B. 的共轭复数是
C. D.
【答案】BD
【解析】复数的虚部为，故A错误；
的共轭复数是，故B正确；
，故C错误；
因为，，所以，故D正确；
故选：BD
10. 已知向量，，记向量，的夹角为，则（ ）
A. 若为钝角，则B. 若为锐角，则
C. 当时，为直角D. 当时，为平角
【答案】BD
【解析】对于A，因为为钝角，所以且向量，不共线，
由，得，得，由，不共线，得，得，
所以，且，所以A错误，
对于B，因为为锐角，所以且向量，不共线，
由，得，得，由，不共线，得，得，
所以，所以B正确，
对于C，当时，，所以，所以与不垂直，即不是直角，所以C错误，
对于D，当时，，
所以，
因为，所以，即为平角，所以D正确.
故选：BD
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（ ）
A. 关于的函数解析式为（）
B. 点第一次到达最高点需用时5秒
C. 点再次接触水面需用时8秒
D. 当点运动2秒时，距水面的高度为2米
【答案】CD
【解析】函数中，，所以，
时，，解得，所以，所以，故A错误；
令时，得，则，
解得，所以的最小值为分钟，即用时秒，
所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误；
由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确；
当点运动2秒时，即时，，故D正确；
故选：CD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数，则______．
【答案】
【解析】，
，
，故周期为3，
，
故答案为：
13. 已知，，，点在直线上运动，则的最小值为______．
【答案】
【解析】因为点在直线上运动，设，所以，
因为，，所以，，，，
所以
，
当时，有最小值.
故答案为：
14. 直线与曲线和曲线分别相交于点，．
（1）若，则的最大值为______；
（2）若的最大值为，则的值为______．
【答案】；（）或（）
【解析】当时，
当且仅当（）即（）取等号
（2）
其中的象限由点决定，且
所以
当且仅当（）取等号
依题意，，所以，
所以（）或（）
故答案为：；（）或（）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，
（1）求；
（2）求与的夹角余弦值；
（3）求向量在向量上的投影向量的坐标.
解：（1）因为向量，满足，，
所以，
故；
（2）因为，，
所以，
又，，
所以，
故与的夹角余弦值为；
（3）因为，则，
所以向量在向量上的投影向量坐标为.
16. 已知复数（，），且和均为实数，其中是虚数单位，复数对应的点为．
（1）求向量的坐标；
（2）若对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
解：（1）由为实数，得，则，
又为实数，
则，解得，因此，所以；
（2）由（1）知，，而，则，
复数在复平面内对应的点在第四象限，
于是，即，解得或，
所以的取值范围为．
17. 如图所示，四边形地块是东湖畔拟建造的一个露营基地．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边，，，修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
（1）如果烧烤区是一个占地面积为平方米的三角形，那么最长需要修建多长的隔离防护栏？
（2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的周长尽可能大，则应如何设计观赏步道和？
解：（1）依题意知，
解得，所以，
当时，
当时，
故最长需要修建260米的隔离防护栏；
（2），
当且仅当时取到等号，此时，
设（），
在中，，
所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号
所以周长的最大值为，此时，
故观赏步道，应均设计为长度是米．
18. 已知，，函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值；
（3）在锐角，角分别为，，三边所对的角，若，，求面积的取值范围．
解：（1）因为，，
所以
，
即函数的解析式为
所以对称中心的横坐标满足，，解得，，
所以函数的对称中心，
（2）因为，
所以
，即
所以，即
又由得，
所以，
又
所以
（3）若，，即，
可得，，所以，解得
由正弦定理可得：，即，
所以
，
即
而在锐角三角形中，，可得，
所以，即，
所以三角形的面积的取值范围为．
19. 如图示，矩形中，点分别是边，上的两点，，．
（1）设，，，求的范围；
（2）若，求的最小值；
（3）若，连接交的延长线于点，为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大．若存在，求的长；若不存在，说明理由．
解：（1）由，，且，，
故，，
所以
由，故
（2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
设，，则，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最小值为.
（3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即
假设存在点，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为0，此时不可能最大，故
则
当且仅当，即时，等号成立，
即存在一点，使得最大，且此时.