鲁教版（五四学制）（2024）3 二元一次方程组的应用教学设计

这是一份鲁教版（五四学制）（2024）3 二元一次方程组的应用教学设计，共7页。教案主要包含了里程碑上的数，例题讲解，随堂练习等内容，欢迎下载使用。
(一)教学知识点
1.用二元一次方程组解决数字问题、图形问题和行程问题.
2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
(二)能力训练要求
1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.
2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.
(三)情感与价值观要求
1.行程问题相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.
2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.
●教学重点
1.用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.
2.初步体会列方程组解决实际问题的步骤.
●教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
●教学方法
引导——讨论——发现法.
行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解.同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法.
●教具准备
幻灯片两张：
第一张：问题串(记作§)；
第二张：例1(记作§7.3.3 B).
●教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
出示投影片(§7.3.3 A)
［师生共析］(1)个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10,所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b.
(2)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x、y表示这个四位数为100x+y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x.
(3)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m.
［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题.
Ⅱ.讲援新课
［师］翻开课本，我们来研究行程问题.同学们先阅读课本上的第一段文字，然后我请一位同学陈述一下问题的内容.
［生］这个问题讲的是：小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好互换了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数.
［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关,同时，相对而言又有一定的难度.但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的,要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字.我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？
［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x;14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y.
［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系.
［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7.
［生］从题目中，我们还可以注意到小明爸爸开车带着小明在公路上是匀速行驶的.说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等.现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程.
［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间汽车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00间汽车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x).因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x).
［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解.
(由两位同学黑板上板演)
解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x,个位数字是y，根据题意，得方程组
① ②
化简，得
把②代入①，得x=1
把x=1代入②，得y=6
所以，这个方程组的解为
因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.
［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题.
出示投影片(§7.3.3 B)
分析：(1)本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178.
(2)设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x.
解：设较大的两位数为x,较小的两位数为y，则
化简，得
即
解该方程组，得
所以这两个两位数分别是45和23.
例2 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据(单位：m)，解答下列问题：
(1)用含x，y的式子表示地面的总面积；
(2)已知客厅的面积比卫生间的面积多21 m2，且地砖的总面积是卫生间面积的15倍．若铺1 m2地砖的平均费用为80元，铺地砖的总费用是多少元？
解：(1)地面的总面积为(6x＋2y＋18)m2；
(2)根据题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6x－2y＝21，,6x＋2y＋18＝15×2y，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝\f(3,2)．))
所以地面总面积为6×4＋2× eq \f(3,2)＋18＝45(m2).
所以铺地砖的总费用为45×80＝3 600(元).
Ⅲ.随堂练习
课本P18.
1.解：设十位数字是x,个位数字是y，则有方程组
解得
所以，这个两位数是56.
Ⅳ.课时小结
［议一议］列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
(引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.不一定要明晰一个十分具体的步骤.只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化)
［师生共同分析］
列二元一次方程组解应用题的主要步骤：
(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.
(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.
(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.
(4)解这个方程组并求出未知数的值.
(5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?
(6)写出符合题意的解释.
Ⅴ.课后作业
1.课本习题7.6.
2.复习一次函数的图象，预习下一节《二元一次方程与一次函数》.
Ⅵ.活动与探究
北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？
过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆.由每台运费的表格可知：
北京—→武汉 费用需4x百元.
北京—→重庆 费用需8y百元.
上海—→武汉 费用需3(6－x)百元.
上海—→重庆 费用需5(8－y)百元.
合计7600元即76百元.
结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得
化简得
解得
所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台.
●板书设计
［问题1］(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.
(2)有两个两位数x和y,如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.
(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.
［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数.
终
点
起
点
武汉
重庆
北京
4
8
上海
3
5
§7.3.3 里程碑上的数
一、里程碑上的数
(1)相等关系：
12∶00~13∶00汽车行驶的路程=13∶00~14∶00汽车行驶的路程；12∶00时小明看到的十位上的数字+个位上的数字=7.
(2)学生板演解答过程.
二、例题讲解
例：(两位数问题)
三、随堂练习
(学生板演)
四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.