广东省广东华侨中学港澳班高二下学期期中数学试卷（解析版）(1)-A4

这是一份广东省广东华侨中学港澳班高二下学期期中数学试卷（解析版）(1)-A4，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，则=
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得，，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出、的值，即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】在双曲线中，，，
所以，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
3. 已知，其中i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出即可得解.
【详解】由可得，
所以复数z在复平面内对应的点在第三象限.
故选：C
4. 已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（ ）
A. 数列为等差数列B.
C. 数列存在最大值D. 数列存在最大值
【答案】D
【解析】
【分析】利用，可求通项公式判断AB；由可知单调性判断CD.
【详解】由可知，当时，，
因为，所以，
故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误.
将通项公式可得，故B错误.
由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误.
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确.
故选：D.
5. 函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程.
【详解】依题意，，
因为，
所以，所以切线方程为，
即，
故选：D.
6. 已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可.
【详解】因为，函数在区间上是减函数，
所以，恒成立.
所以，恒成立.
设，，
因为对称轴为，所以在为增函数，
所以，所以.
故选：C
7. 3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（ ）种.
A. 6B. 24C. 64D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】由分步乘法原理计算可得.
【详解】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种.
故选：C
8. 如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由微积分基本定理的几何意义即可得出结果.
【详解】图中围成封闭图形（阴影部分）的面积.
故选：C.
9. 由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】由题意画出图形，确定积分区间，利用定积分即可得解.
【详解】由题意，曲线，直线及y轴所围成的图形如图阴影部分所示：
联立方程，可得点，
因此曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了定积分的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
10. 数列中，，对任意 ，若，则 （ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.
【详解】在等式中，令，可得，，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
，
，则，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.
11. 已知等差数列公差为，集合，若，则（ ）
A. －1B. C. 0D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
12. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构建，根据题意分析可知在上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
【点睛】关键点点睛：根据构建，进而利用导数判断函数单调性，结合单调性解不等式.
二、填空题
13. 已知函数，则的极小值为______
【答案】
【解析】
【分析】对求导，得到，再利用极值的定义及求极值的步骤，即可求解.
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为：.
14. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】由定积分的运算性质、几何意义和微积分基本定理运算即可.
【详解】由定积分的运算性质，，
由微积分的几何意义表示直线（轴），，（轴）和曲线所围成的曲边梯形的面积，
曲线（）（），
∴曲线为圆心为原点，半径的圆在的部分，
∴表示的曲边梯形如图，其面积为，∴，
由微积分基本定理，∵，∴，
∴.
故答案为：.
15. 学校运动会需要从5名男生和2名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有一名女生的不同选法的种数是____________（请用数字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】根据分类讨论，结合组合的知识求得正确答案.
【详解】选出的志愿者中，1个女生3个男生时，方法数有种，2个女生2个男生时，方法数有种，所以不同选法有种.
故答案为：30.
16. 已知过点可作两条直线与曲线相切，则实数______．
【答案】1或
【解析】
【分析】设切点，根据导数的几何意义写成切线方程，由切线过点，可得，问题转化为方程有两解求的值，再结合三次函数的单调性和极值可求的值.
【详解】设切点，由，则点处的切线方程为．
将点代入上式，得，即．
设，则．
令，解得或1．
当或时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以当时，取极小值；当时，取极大值．
所以当过点可作两条直线与曲线相切时，或．
故答案为：1或
17. 数列满足，前16项和为540，则 ______________.
【答案】
【解析】
【分析】对为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.
【详解】，
当为奇数时，；当为偶数时，.
设数列的前项和为，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.
18. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________．
【答案】-2
【解析】
【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故.
【详解】因为，，所以，，
则在点处切线方程为，即；
在点处的切线方程为：，即，
由已知，由得，故，
故，解得，
所以，因此．
故答案：．
【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 已知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
三、解答题
19. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，为与的交点.设.

（1）用表示，并求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）先根据平行六面体的性质找到向量之间的关系，用表示出，再通过向量模的计算公式求出的值；
（2）先求出，再根据向量数量积的运算规则求出的值.
【小问1详解】
因为平行六面体中，为与的交点，
所以是中点，也是中点，
又因为，且平行六面体中，，
那么，
因为，，
所以，
，
因为，所以，又，，
所以，
，所以.
【小问2详解】
因，
所以
.
20. 已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.
21. 设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程．
【答案】（1）椭圆方程为，离心率为
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可知解方程组即可求出椭圆方程与离心率.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，可求出点的坐标.通过画图可得出，再代入相关点的坐标，分别求得和的面积，根据计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，解得
，
则椭圆方程为，椭圆的离心率为.
【小问2详解】
由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为，
取，得，
联立得，，
，得，则．
，
.
因为的面积是面积的倍，
，即，得，
直线的方程为．
22. 设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若对定义域内任意的实数，恒有，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得在上恒成立，设，，利用导数说明函数的单调性，即可得到且，利用导数求出的范围，即可求出的范围.
【小问1详解】
当时定义域为，
且，
令，则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
【小问2详解】
函数定义域为，
依题意在上恒成立，
设，，则，
设，则恒成立，
所以在上单调递增，
且当时，当时，
所以使得，即，
所以，
则当时，即单调递减，
当时，即单调递增，
所以
，
令，则且，
所以为增函数，
由，所以，
又与均为减函数，所以在上单调递减，
所以当时，
所以实数的取值范围为.