广东省广州市广东华侨中学高一（下）期中数学试卷

这是一份广东省广州市广东华侨中学高一（下）期中数学试卷，共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z满足（1﹣2i）z＝2+i，则|z|＝（ ）
A．3B．2C．1D．5
2．（5分）若α为第二象限角且csα=−223，则tan2α＝（ ）
A．−427B．−24C．24D．427
3．（5分）如图，在△ABC中，点M，N满足AM→=MB→，BN→=3NC→，则MN→=（ ）
A．14AB→+34AC→B．14AB→−34AC→
C．−14AB→+34AC→D．−14AB→−34AC→
4．（5分）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于23π，则该圆锥的体积为（ ）
A．3πB．2πC．πD．2π
5．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB=22，AC＝2，AD＝2，若三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为（ ）
A．32πB．16πC．323πD．163π
6．（5分）一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的（ ）
A．正西方向B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向D．南偏西45°方向
7．（5分）已知函数f(x)=2sin2ωx+3sin2ωx(ω＞0)在（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(23，1]B．(1，53]C．[23，1)D．[1，53)
8．（5分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2+c2−b2=3，2sinBsin(C+π3)=3sinA，若P为△ABC的费马点，则PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PA→⋅PC→=（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．−32
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知向量a→=（﹣2，1），b→=（﹣1，t），则下列说法正确的是（ ）
A．若a→⊥b→，则t的值为﹣2
B．若a→∥b→，则t的值为12
C．若0＜t＜2，则a→与b→的夹角为锐角
D．若（a→+b→）⊥（a→−b→），则|a→+b→|＝|a→−b→|
（多选）10．（6分）已知函数f(x)=cs2x−23sinxcsx，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于x=π3对称
C．f（x）在区间[−2π3，−π6]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin2x的图象重合
（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=9，a=2c，B=π3，则（ ）
A．△ABC的外接圆的面积为27π
B．△ABC的周长为9+93
C．△ABC是直角三角形
D．△ABC的内切圆的半径为(9−33)π
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）复数1+ai2−i为纯虚数，则实数a为 ．
13．（5分）已知a→=(x，1)，b→=(−1，2)，且|a→+2b→|=|a→−2b→|，则x＝ ．
14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF＝ ．
四、解答题:本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知sinα=1213，sin(α+β)=35，0＜β＜π2，π2＜α＜π．
（1）求cs(α−π4)；
（2）求sin（2α+β）．
16．如图．在锐角△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=368，cs∠ADC=−14．
（1）求AB边的长；
（2）求△ABC的面积．
17．已知函数f(x)=3sin2x+1−2sin2x．
（1）求函数f（x）的周期及在[0，π2]上的值域；
（2）若θ为锐角且f(θ)=−25，求cs2θ的值．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，csinB+3b⋅csC=3a，b=3．
（1）求角B；
（2）若a+c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
19．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π4，C是弧AB上的动点（不含点A、B），作CE∥OA交OB于点E，作EF⊥OA交OA于点F，同时以OA为斜边，作Rt△OAG，且∠AOG＝2∠COA．
（1）求△OAG的面积的最大值；
（2）从点C出发，经过线段CE、EF、FA、AG，到达点G，求途径线段长度的最大值．
广东省广州市广东华侨中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的．
1．（5分）已知复数z满足（1﹣2i）z＝2+i，则|z|＝（ ）
A．3B．2C．1D．5
【考点】复数的模；复数的除法运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】由复数四则运算以及模的运算公式即可求解．
【解答】解：由（1﹣2i）z＝2+i，
得z=2+i1−2i=(2+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=2−2+i+4i1−4i2=5i5=i，
所以|z|＝1．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
2．（5分）若α为第二象限角且csα=−223，则tan2α＝（ ）
A．−427B．−24C．24D．427
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合同角基本关系及二倍角公式即可求解．
【解答】解：若α为第二象限角且csα=−223，则sinα=13，tanα=−24，
则tan2α=2tanα1−tan2α=−221−18=−427．
故选：A．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
3．（5分）如图，在△ABC中，点M，N满足AM→=MB→，BN→=3NC→，则MN→=（ ）
A．14AB→+34AC→B．14AB→−34AC→
C．−14AB→+34AC→D．−14AB→−34AC→
【考点】平面向量的基本定理．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由平面向量的线性运算计算即可．
【解答】解：因为AM→=MB→，BN→=3NC→，
所以MN→=BN→−BM→=34BC→−12BA→=34(AC→−AB→)+12AB→=−14AB→+34AC→．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
4．（5分）已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于23π，则该圆锥的体积为（ ）
A．3πB．2πC．πD．2π
【考点】圆锥的体积．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，设圆锥的底面半径为r，高为h，由圆锥的侧面积公式求出r，进而求出h，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设圆锥的底面半径为r，高为h，
由于圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于23π，则有2πr＝23π，
解可得r=3，
则圆锥的高h＝1，
故该圆锥的体积V=13πr2h＝π．
故选：C．
【点评】本题考查圆锥的体积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
5．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，且AB=22，AC＝2，AD＝2，若三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为（ ）
A．32πB．16πC．323πD．163π
【考点】球的体积和表面积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；球；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，将三棱锥补形为长方体，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再由球的体积公式，即可得到结果．
【解答】解：因为三棱锥A﹣BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，
可以将三棱锥补形为长方体，且长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
又AB=22，AC＝2，AD＝2，
则球的直径2r=AB2+AC2+AD2=8+4+4=4，即r＝2，
所以外接球的体积为43πr3=43π×23=323π．
故选：C．
【点评】本题考查了球的体积计算，属于中档题．
6．（5分）一艘游轮航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离为126海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，该游轮由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游轮的（ ）
A．正西方向B．南偏西75°方向
C．南偏西60°方向D．南偏西45°方向
【考点】解三角形．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；解三角形．
【答案】C
【分析】利用方位角求出B的大小，利用正弦定理直接求解AD的距离，直接利用余弦定理求出CD的距离，然后求解∠CDA即可．
【解答】解：如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为126海里，AB＝126．
灯塔C在A的北偏西30°，距离为123海里，AC＝123，
货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，
所以B＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
由正弦定理 ADsinB=ABsin∠ADB，
所以AD=ABsinBsin∠ADB=126×2232=24海里；
在△ACD中，AD＝24，AC＝12 3，∠CAD＝30°，
由余弦定理可得：CD2＝AD2+AC2﹣2•AD•ACcs30°＝242+（123）2﹣2×24×12 3×32=144，
所以CD＝12海里；
cs∠CDA=242+122−(123)22×24×12=12．
∠CDA＝60°，
此时灯塔C位于游轮的南偏西60°方向．
故选：C．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，注意方位角的应用，考查计算能力．属于中档题．
7．（5分）已知函数f(x)=2sin2ωx+3sin2ωx(ω＞0)在（0，π）上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(23，1]B．(1，53]C．[23，1)D．[1，53)
【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的三角函数．
【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】B
【分析】由二倍角公式和辅助角公式化简f（x），利用已知x的范围，求出2ωx−π6的范围，根据函数恰有两个零点列不等式，解出ω的取值范围．
【解答】解：由题意，函数f（x）＝1﹣cs2ωx+3sin2ωx＝1+2sin（2ωx−π6），
令f（x）＝0，即sin（2ωx−π6）=−12，
∵0＜x＜π，且ω＞0，∴−π6＜2ωx−π6＜2ωπ−π6，
又函数f（x）在（0，π）上恰有两个零点，
所以11π6＜2ωπ−π6≤19π6，
解得1＜ω≤53．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
8．（5分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且a2+c2−b2=3，2sinBsin(C+π3)=3sinA，若P为△ABC的费马点，则PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PA→⋅PC→=（ ）
A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．−32
【考点】平面向量的综合题．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】首先分析题意，根据两角和的三角函数公式进行化简，下一步依据三角函数的同角关系，余弦定理，结合向量数量积的定义进行求解即可．
【解答】解：因为2sinBsin(C+π3)=2sinB(12sinC+32csC)=sinBsinC+3sinBcsC，
角A，B，C为三角形ABC的内角，
则A+B+C＝π，
3sinA=3sin(B+C)=3sinBcsC+3csBsinC，
所以sinBsinC+3sinBcsC=3sinBcsC+3csBsinC，
即sinBsinC=3sinCcsB．因为sinC≠0，所以tanB=sinBcsB=3．
因为B∈（0，π），所以B=π3．
由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120°，结合题设易知P点一定在△ABC的内部．
由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accsB＝3，
解得ac=3．S△ABC=12|PA|⋅|PB|sin2π3+12|PB|⋅|PC|sin2π3+12|PA|⋅|PC|⋅sin2π3=12acsinB=334，
所以|PA|•|PB|+|PB|•|PC|+|PA|•|PC|＝3，
所以PA→⋅PB→+PB→⋅PC→+PA→⋅PC→=|PA|⋅|PB|cs2π3+|PB|⋅|PC|cs2π3+|PA|⋅|PC|⋅cs2π3=(|PA|⋅|PB|+|PB|⋅|PC|+|PA|⋅|PC|)cs2π3=−32．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）已知向量a→=（﹣2，1），b→=（﹣1，t），则下列说法正确的是（ ）
A．若a→⊥b→，则t的值为﹣2
B．若a→∥b→，则t的值为12
C．若0＜t＜2，则a→与b→的夹角为锐角
D．若（a→+b→）⊥（a→−b→），则|a→+b→|＝|a→−b→|
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】方程思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
【解答】解：对于A：若a→⊥b→，则a→⋅b→=−2×(−1)+1×t=0，解得t＝﹣2，故A正确；
对于B：若a→∥b→，则﹣2t＝﹣1×1，解得t=12，故B正确；
对于C：当t=12时，a→与b→同向，此时a→与b→的夹角为0°，故C错误；
对于D：若(a→+b→)⊥(a→−b→)，则(a→+b→)⋅(a→−b→)=0，即a→2−b→2=0，即（﹣2）2+12＝（﹣1）2+t2，解得t＝±2，
当t＝2时，a→=(−2，1)，b→=(−1，2)，a→+b→=(−3，3)，a→−b→=(−1，−1)，显然 |a→+b→|≠|a→−b→|，
当t＝﹣2时，a→=(−2，1)，b→=(−1，−2)，a→+b→=(−3，−1)，a→−b→=(−1，3)，此时|a→+b→|=|a→−b→|，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f(x)=cs2x−23sinxcsx，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于x=π3对称
C．f（x）在区间[−2π3，−π6]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin2x的图象重合
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性；正弦函数的单调性；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；两角和与差的三角函数．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】ABC
【分析】先化简函数，公式法求最小正周期验证选项A；代入检验法判断BC中的对称轴和单调区间；求平移后的函数解析式验证选项D．
【解答】解：对于A，函数f(x)=cs2x−23sinxcsx=cs2x−3sin2x=2cs(2x+π3)，
所以f（x）的最小正周期为2π2=π，A选项正确；
对于B，当x=π3时，f(π3)=2csπ=−2，是函数最小值，函数f（x）的图象关于x=π3对称，B选项正确；
对于C，当x∈[−2π3，−π6]时，2x+π3∈[−π，0]，[﹣π，0]是余弦函数的单调递增区间，
则此时f（x）为增函数，C选项正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后5π12，
得到函数解析式为y=2cs[2(x+5π12)+π3]=2cs(2x+7π6)=2sin(2x−π3)，D选项不正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换以及余弦函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=9，a=2c，B=π3，则（ ）
A．△ABC的外接圆的面积为27π
B．△ABC的周长为9+93
C．△ABC是直角三角形
D．△ABC的内切圆的半径为(9−33)π
【考点】解三角形；正弦定理．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】ABC
【分析】选项A，根据条件，利用正弦定理，可求得外接圆半径为R=33，进而求出外接圆的面积，即可判断出选项A的正误；根据条件，利用余弦定理，可求得c=33，a=63，进而可判断出选项B和C的正误，选项D，设内切圆半径为r，利用12bc=12(a+b+c)r，求出r，即可判断出选项D的正误，从而求出结果．
【解答】解：对于选项A，因为b=9，a=2c，B=π3，由正弦定理可得bsinB=2R，即9sinπ3=2R，得到R=33，
所以△ABC的外接圆的面积为πR2＝27π，故选项A正确；
对于选项B，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
得到81=4c2+c2−2×2c×c×csπ3，整理得到3c2＝81，解得c=33，所以a=63，
故△ABC的周长为9+93，所以选项B正确；
对于选项C，因为a=63，c=33，b＝9，所以a2＝c2+b2，故选项C正确；
对于选项D，设内切圆半径为r，由12bc=12(a+b+c)r，得到33=(1+3)r，解得r=9−332，所以选项D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（5分）复数1+ai2−i为纯虚数，则实数a为 2 ．
【考点】纯虚数；复数的运算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】复数的分母实数化，利用复数是纯虚数，求出a的值即可．
【解答】解：因为1+ai2−i=(1+ai)(2+i)(2−i)(2+i)=(2−a)+(2a+1)i5，是纯虚数，所以a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查复数的基本运算﹣﹣复数的乘除运算，复数的基本概念，考查计算能力．
13．（5分）已知a→=(x，1)，b→=(−1，2)，且|a→+2b→|=|a→−2b→|，则x＝ 2 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】2．
【分析】由|a→+2b→|=|a→−2b→|可得a→⋅b→=0，利用向量数量积的坐标运算即可求解．
【解答】解：由|a→+2b→|=|a→−2b→|两边同时平方可得：|a→+2b→|2=|a→−2b→|2，
所以a→2+4a→⋅b→+4b→2=a→2−4a→⋅b→+4b→2，整理得a→⋅b→=0，
而a→⋅b→=x×(−1)+1×2=0，解得：x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题．
14．（5分）如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则cs∠EMF＝ 210 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，∠EMF就是DE→，AF→的夹角，利用向量的夹角公式求解
【解答】解：如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D（0，6），E（3，0），A（0，0），F（6，2），
∴DE→=(3，−6)，AF→=(6，2)，
由于∠EMF就是DE→，AF→的夹角，
∴cs∠EMF=18−129+36⋅36+4=210．，
∴∠EMF的余弦值为210．
故答案为：210．
【点评】本题考查向量数量积的应用，属于中档题．
四、解答题:本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知sinα=1213，sin(α+β)=35，0＜β＜π2，π2＜α＜π．
（1）求cs(α−π4)；
（2）求sin（2α+β）．
【考点】求两角和与差的三角函数值．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；运算求解．
【答案】（1）7226；
（2）−6365．
【分析】（1）利用同角基本关系式与角的范围求得csα，再利用两角差的余弦公式即可得解；
（2）利用同角基本关系式与角的范围求得cs（α+β），再利用两角和的正弦公式即可得解．
【解答】解：（1）因为sinα=1213，π2＜α＜π，则csα=−513，
所以cs(α−π4)=csαcsπ4+sinαsinπ4=−513×22+1213×22=7226．
（2）因为0＜β＜π2，π2＜α＜π，所以π2＜α+β＜3π2，
又sin(α+β)=35，所以cs（α+β）=−45，
所以sin（2α+β）＝sin（α+β）csα+cs（α+β）sinα
=35×(−513)+(−45)×1213=−6365．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于中档题．
16．如图．在锐角△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且sinB=368，cs∠ADC=−14．
（1）求AB边的长；
（2）求△ABC的面积．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）10；
（2）3152．
【分析】（1）结合诱导公式利用正弦定理即可求解；
（2）利用余弦定理和面积公式求解即可．
【解答】解：（1）因为cs(π−∠ADB)=cs∠ADC=−14，
所以cs∠ADB=14，
所以在锐角△ABC中，sin∠ADB=154，
由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB，即AB154=3368，
解得AB=10；
（2）由（1）知，AB=10，
因为sinB=368，
由△ABC为锐角三角形，可得csB=108，
由余弦定理得csB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD=108，
解得BD=12或2，
又cs∠ADB=AD2+BD2−AB22AD⋅BD=14＞0，
所以BD＝2，BC＝4，
所以△ABC的面积为12AB⋅BC⋅sinB=3152．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属中档题．
17．已知函数f(x)=3sin2x+1−2sin2x．
（1）求函数f（x）的周期及在[0，π2]上的值域；
（2）若θ为锐角且f(θ)=−25，求cs2θ的值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】（1）[﹣1，2]；
（2）−62+110．
【分析】（1）先化简得出f(x)=2sin(2x+π6)，即可得出函数周期；进而，根据已知角的范围，得出2x+π6∈[π6，7π6]，结合正弦函数的图象及性质，得出最值，即可得出答案；
（2）根据已知推得sin(2θ+π6)=−15，进而根据角的范围得出2θ+π6为第三象限角以及cs(2θ+π6)=−265．然后根据两角和的余弦公式，代入数值计算，即可得出答案．
【解答】解：（1）由已知可得，f(x)=3sin2x+1−2sin2x=3sin2x+cs2x=2sin(2x+π6)，
则函数f（x）的最小正周期为T=2π2=π．
又由x∈[0，π2]，可得2x+π6∈[π6，7π6]．
根据正弦函数的图象及性质可知，
当2x+π6=π2时，即x=π6时，f（x）取得最大值f(x)max=f(π6)=2；
当2x+π6=7π6时，即x=π2时，f（x）取得最小值f(x)max=f(π2)=−1，
所以函数f（x）的值域为[﹣1，2]．
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+π6)．
因为f(θ)=−25，所以2sin(2θ+π6)=−25，即sin(2θ+π6)=−15．
又因为θ∈(0，π2)，可得2θ+π6∈(π6，7π6)．
又由sin(2θ+π6)=−15＜0，所以2θ+π6∈(π，7π6)，
可得cs(2θ+π6)=−1−sin2(2θ+π6)=−265．
则cs2θ=cs[(2θ+π6)−π6]
=cs(2θ+π6)csπ6+sin(2θ+π6)sinπ6
=−265×32−15×12=−62+110．
【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，还考查了和差角公式，同角基本关系的应用，属于中档题．
18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，csinB+3b⋅csC=3a，b=3．
（1）求角B；
（2）若a+c＝2，求边AC上的角平分线BD长；
（3）若△ABC为锐角三角形，求边AC上的中线BE的取值范围．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；
（2）根据余弦定理及已知得ac=13，然后利用面积分割法S△ABC＝S△ABD+S△BDC列方程求解即可；
（3）利用向量加法运算及数量积以及模的运算得BE→2=3+2ac4，利用正弦定理得ac=2sin(2A−π6)+1，然后利用角A的范围，结合正弦函数的性质求解BE范围即可．
【解答】解：（1）因为csinB+3bcsC=3a，
由正弦定理得：sinBsinC+3sinBcsC=3sinA
因为3sinA=3sin(B+C)=3sinBcsC+3csBsinC，
所以sinBsinC=3csBsinC，
又C∈（0，π），所以sinC≠0，所以tanB=3，
又B∈（0，π），所以B=π3．
（2）因为B=π3，b=3，所以由余弦定理得3＝c2+a2﹣ac＝（c+a）2﹣3ac，
又a+c＝2，解得ac=13，
由S△ABC＝S△ABD+S△BDC，得12acsinB=12c⋅BD⋅sinB2+12a⋅BD⋅sinB2，
即acsinπ3=BD⋅(c+a)sinπ6，则13×32=BD×2×12，所以BD=36．
（3）因为△ABC为锐角三角形，所以0＜A＜π20＜2π3−A＜π2，解得π6＜A＜π2，
因为E是AC的中点，所以BE→=12(BA→+BC→)，
则BE→2=14(BA→2+2BA→⋅BC→+BC→2)=14(c2+a2+ac)=3+2ac4，
由正弦定理得，ac=bsinBsinA⋅bsinBsinC=4sinAsinC=4sinAsin(2π3−A)
即ac=23sinAcsA+2sin2A=3sin2A−cs2A+1=2sin(2A−π6)+1，
因为A∈(π6，π2)，所以2A−π6∈(π6，5π6)，
所以sin(2A−π6)∈(12，1]，所以ac=2sin(2A−π6)+1∈(2，3]，
所以BE→2=3+2ac4∈(74，94]，
所以BE∈(72，32]，即边AC上的中线BE的取值范围为(72，32]．
【点评】本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换，向量知识解三角形，属于中档题．
19．如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为π4，C是弧AB上的动点（不含点A、B），作CE∥OA交OB于点E，作EF⊥OA交OA于点F，同时以OA为斜边，作Rt△OAG，且∠AOG＝2∠COA．
（1）求△OAG的面积的最大值；
（2）从点C出发，经过线段CE、EF、FA、AG，到达点G，求途径线段长度的最大值．
【考点】扇形面积公式．
【专题】数形结合；函数思想；换元法；三角函数的图象与性质；解三角形；数学建模；运算求解．
【答案】（1）14；
（2）94．
【分析】（1）设∠AOC＝θ，则0＜θ＜π4，∠AOG＝2θ，求出OG、AG的长，利用三角形的面积公式以及二倍角的正弦公式可求得△OAG的面积的最大值；
（2）计算出线段CE、EF、FA、AG的长，令t＝（csθ﹣sinθ）∈（0，1），可得出sin2θ＝1﹣t2，利用二次函数的基本性质可求得途径线段长度的最大值．
【解答】解：（1）设∠AOC＝θ，则0＜θ＜π4，∠AOG＝2θ，
在Rt△OAG中，∠OGA=π2，OA＝1，则OG＝OAcs2θ＝cs2θ，
AG＝OAsin2θ＝sin2θ，
所以S△OAG=12OG⋅AG=12cs2θsin2θ=14sin4θ，
因为0＜θ＜π4，则0＜4θ＜π，
当4θ=π2时，即当θ=π8时，△OAG的面积取最大值，且最大值为14．
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为点H，
因为CE∥OA，EF⊥OA，CH⊥OA，则四边形CEFH为矩形，
所以EF＝CH＝OCsinθ＝sinθ，OH＝OCcsθ＝csθ，
因为EF⊥OA，∠AOE=π4，则△OEF为等腰直角三角形，则OF＝EF＝sinθ，
所以CE＝FH＝OH﹣OF＝csθ﹣sinθ，AF＝OA﹣OF＝1﹣sinθ，AG＝sin2θ，
所以CE+EF+FA+AG＝（csθ﹣sinθ）+sinθ+（1﹣sinθ）+sin2θ＝sin2θ+（csθ﹣sinθ）+1，
令t=csθ−sinθ=2(22csθ−22sinθ)=2cs(θ+π4)，
因为0＜θ＜π4，则π4＜θ+π4＜π2，则0＜cs(θ+π4)＜22，
所以t=2cs(θ+π4)∈(0，1)，t2＝（csθ﹣sinθ）2＝1﹣2sinθcsθ＝1﹣sin2θ，
所以sin2θ＝1﹣t2，
所以sin2θ+(csθ−sinθ)+1=(1−t2)+t+1=−t2+t+2=−(t−12)2+94，
故当t=12时，CE+EF+FA+AG取最大值94，
因此，从点C出发，经过线段CE、EF、FA、AG，到达点G，求途径线段长度的最大值为94．
【点评】本题考查了三角函数应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
考点卡片
1．扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝ rα，扇形的面积为S=12lr＝12r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
【命题方向】
扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
分析：设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6cm，面积是2cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．
解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，
则2R+α⋅R=612R2⋅α=2，解得α＝1或α＝4．
选C．
点评：本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．
2．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acs（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2πω．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cs x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acs（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为π|ω|．
③利用图象．图象重复的x的长度．
3．正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acs（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
4．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T4，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M−m2．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|φ|．
5．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：sinαcsα=tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs _ α ，其中k∈ Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _ α ，cs（π+α）＝﹣cs _ α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _ α ，cs（﹣α）＝cs _ α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs _ α ．
公式五：sin（π2−α）＝csα ，cs（π2−α）＝sinα．
公式六：sin（π2+α）＝cs α ，cs（π2+α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝ cs αcsβ + sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝ cs αcsβ ﹣ sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝ sin αcsβ + cs αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝ sin αcsβ ﹣ cs αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _ α cs _ α ；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α ＝2cs2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α=2tanα1−tan2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
6．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
7．求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcsβ±csαsinβ
cs（α±β）＝csαcsβ∓sinαsinβ
tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanαtanβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
【命题方向】
常见题型包括利用和差公式求解三角函数值，结合具体角度进行计算．
若α为锐角，sinα=45，则sin(α+π3)=_____．
解：若α为锐角，sinα=45，则csα=35，
sin(α+π3)=12sinα+32csα=12×45+32×35=4+334．
8．二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α=2tanα1−tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
例：y＝sin2x+2sinxcsx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcsx
=1−cs2x2+sin2x
＝sin2x−12cs2x+12
=52sin（2x+φ）+12，（tanφ=−12）
∴其周期T=2π2=π．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【命题方向】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
9．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：sinαcsα=tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（π2−α）＝csα，cs（π2−α）＝sin α，tan（π2−α）＝ctα．
公式六：sin（π2+α）＝csα，cs（π2+α）＝﹣sinα，tan（π2+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α=2tanα1−tan2α．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设a→，b→都是非零向量，e→是与b→方向相同的单位向量，a→与b→和夹角为θ，则：
（1）a→⋅e→=e→⋅a→=|a→|csθ；
（2）a→⊥b→⇔a→⋅b→=0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当a→，b→方向相同时，a→⋅b→=|a→||b→|；当a→，b→方向相反时，a→⋅b→=−|a→||b→|；
特别地：a→⋅a→=|a→|2或|a→|=a→⋅a→（用于计算向量的模）
（4）csθ=a→⋅b→|a→||b→|（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）|a→⋅b→|≤|a→||b→|
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：a→⋅b→=b→⋅a→；
（2）数乘向量的结合律：（λa→）•b→=λ（a→⋅b→）=a→•（λb→）；
（3）分配律：（a→⋅b→）•c→≠a→•（b→⋅c→）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（a→±b→）2=a→2±2a→•b→+b→2．②（a→−b→）（a→+b→）=a→2−b→2．③a→•（b→•c→）≠（a→•b→）•c→，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；
⑥“acbc=ab”类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=b→”，
即③错误；
∵|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“a→⋅b→=b→⋅a→”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（a→+b→）•c→=a→⋅c →+b→⋅c→”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“c→≠0，a→⋅c→=b→⋅c→⇒a→=c→”；|a→⋅b→|≠|a→|•|b→|，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|a→⋅b→|＝|a→|•|b→|”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（a→⋅b→）•c→=a→⋅(b→⋅c→)”；向量的数量积不满足消元律，故acbc=ab”不能类比得到a→⋅c→b→⋅c→=b→a→．
【命题方向】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a→=λ1e1→+λ2e2→．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
12．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），则b→∥a→（a→≠0→）⇔x1y2﹣x2y1＝0．
13．数量积判断两个平面向量的垂直关系
【知识点的认识】
向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→与b→垂直，有a→•b→=1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它们的乘积为0．
【解题方法点拨】
例：与向量( −35，45)垂直的向量可能为（ ）
A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）
解：对于A：∵( −35，45)•（3，﹣4）=−95−165=−5，∴A不成立；
对于B：∵( −35，45)•（﹣4，3）=125+125=245，∴B不成立；
对于C：∵( −35，45)•（4，3）=−125+125=0，∴C成立；
对于D：∵( −35，45)•（4，﹣3）=−125−125=−245，∴D不成立；
故选：C．
点评：分别求出向量( −35，45)和A，B，C，D四个备选向量的乘积，如果乘积等于0，则这两个向量垂直，否则不垂直．
【命题方向】
向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为0，希望大家熟记这个关系并灵活运用．
14．平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB→|．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是AB→|AB→|）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设a→与b→不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作AB→=a，BC→=b，则向量 叫做a→与b→的和，记作a→+b→，即a→+b→=AB→+BC→=AC→
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于AD→=BC→，根据三角形法则得AB→+AD→=AB→+BC→=AC→，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是AB→与AD→的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①a→+0→=0→+a→=a→；a→+（−a→）=0→；
②a→+b→=b→+a→；
③（a→+b→）+c→=a→+（b→+c→）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为a→与b→的差，即a→−b→=a→+（−b→）．
设a→=OA→，b→=OB→，则．即=OA→−OB→=OA→+(−OB→)=OA→+BO→=BO→+OA=BA→．即OA→−OB→=BA→
特征；有共同起点的两个向量a→、b→，其差a→−b→仍然是一个向量，叫做a→与b→的差向量，其起点是减向量b→的终点，终点是被减向量a→的终点．（减终指向被减终）
15．正弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
3．S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S=12a•ha（ha表示边a上的高）；
②S=12absinC=12acsinB=12bcsinA．
③S=12r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤csα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤csα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
18．解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABC=12aha=12bhb=12chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC=abc4R；
⑤S△ABC=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
19．纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
【命题方向】
纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．
20．复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di⇔a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭⇔a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：OZ→的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=a2+b2．
21．复数的运算
【知识点的认识】
复数的加、减、乘、除运算法则
22．复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是z1z2=(a1+b1i)(a2−b2i)a22+b22．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
【命题方向】
﹣复数除法的计算：考查如何计算复数除法及其结果．
﹣除法的实际应用：如何在实际问题中应用复数除法．
i是虚数单位，2i1+i=_____．
解：2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=2+2i2=1+i．
23．圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为V=13πr2ℎ．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
【命题方向】
﹣圆锥的体积计算：考查如何根据底面圆的半径和高度计算圆锥的体积．
﹣实际应用：如何在实际问题中应用圆锥的体积计算．
24．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体=43πR3
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
C
C
C
C
B
D
题号
9
10
11
答案
AB
ABC
ABC
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccsA，
b2＝a2+c2﹣2accsB，
c2＝a2+b2﹣2abcsC
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
csA=b2+c2−a22bc，
csB=a2+c2−b22ac，
csC=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
定理
正弦定理
余弦定理
内容
asinA=bsinB=csinC=2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccs A，
b2＝a2+c2﹣2accs_B，
c2＝a2+b2﹣2abcs_C
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A=a2R，sin B=b2R，sin C=c2R；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cs A=b2+c2−a22bc，
cs B=a2+c2−b22ac，
cs C=a2+b2−c22ab
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
A2+B2=π2−C2，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccsA
b2＝a2+c2﹣2accsB
c2＝a2+b2﹣2abcsC
csA=b2+c2−a22bc
csB=a2+c2−b22ac
csC=a2+b2−c22ab
正弦定理
asinA=bsinB=csinC=2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA=a2R，sinB=b2R，sinC=c2R
射影定理
acsB+bcsA＝c
acsC+ccsA＝b
bcsC+ccsB＝a
面积公式
①S△=12aha=12bhb=12chc
②S△=12absinC=12acsinB=12bcsinA
③S△=abc4R
④S△=s(s−a)(s−b)(s−c)，（s=12（a+b+c））；
⑤S△=12（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA=2S△bc
sinB＝
2S△ac
sinC=2S△ab