课件：北师大版2024初中数学八下第1章 三角形的证明及其应用 小结与复习

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第一章 三角形的证明及其应用小结与复习八年级(下册)北师大版2026新版教材线段垂直平分线的性质与判定角平分线的性质与判定三角形内角和定理特殊线全等三角形与等腰三角形有关的结论三角形的证明及其应用通过探索、猜想、证明得到定理与直角三角形有关的结论已知底边及底边上的高作等腰三角已知一条直角边和斜边作直角三角形过直线外一点作已知直线的垂线互逆命题及其真假尺规作图知识回顾一、三角形内角和定理1.三角形 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.2.n边形定理 n边形的内角和等于(n-2)·180°.定理 多边形的外角和等于360°.知识梳理 知识梳理1. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠DEF=60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为( )A. 5° B. 15° C. 25° D. 35°B课堂练习2. (1) 若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为( )A. 60 B. 90 C. 120 D. 150(2) 已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引( )条对角线.A. 6 B. 7 C. 8 D. 9BC课堂练习BACP 课堂练习BACP 课堂练习二、等腰三角形1. 性质定理等腰三角形的两个底角相等.简述为等边对等角.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合. 简述为“三线合一”.知识梳理二、等腰三角形2. 有关等腰三角形的性质的一些结论(1) 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等.(2) 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(3) 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数等于顶角度数的一半.知识梳理二、等腰三角形3. 判定定理定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简述为等角对等边.知识梳理三、等边三角形1. 性质定理等边三角形的三条边都相等.等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.知识梳理三、等边三角形2. 判定定理三条边都相等的三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.知识梳理四、反证法1.定义：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.知识梳理注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.2.用反证法证明的步骤一般为：(1) 先假设结论的反面是正确的；(2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾的结论；(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.知识梳理1. 如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D，连接CD.(1) 求证：△ACD为等腰三角形.(2) 若∠BAD=140°，求∠BDC的度数.课堂练习(1) 证明：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠1=∠2.∵ AD∥BC，∴ ∠2=∠3，∴ ∠1=∠3，∴ AB=AD. ∵AB=AC，∴ AC=AD，∴ △ACD为等腰三角形.课堂练习 课堂练习 课堂练习2. 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(1) 线段AN与线段BM是否相等?请说明理由；课堂练习证明：(1) AN＝BM.理由：∵ △ACM与△CBN都是等边三角形，∴ AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴ ∠ACN＝∠MCB.∴ △ACN≌△MCB (SAS)．∴ AN＝BM.课堂练习2. 如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形.(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，连接EF，探究△CEF的形状，并证明你的结论．EF课堂练习(2) △CEF是等边三角形．证明：由（1）知 ∠ACE＝∠FCB=60°，∴ ∠ECF=60°.∵ △ACN≌△MCB，∴ ∠CAE＝∠CMB.∵ AC＝MC，∴ △ACE≌△MCF (ASA)，∴ CE＝CF.∴ △CEF是等边三角形．EF课堂练习3. 如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.若点D在边BC上，求证：CE+CF=CD.课堂练习证明：如图，在CD上取一点H，使得CH=CE，连接EH.∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠ECH=60°∴ △CEH是等边三角形，∴ EH=EC，∠CEH=60°，∴ ∠FEC+∠HEF=60°.∵ △DEF是等边三角形，∴ DE=FE，∠DEF=60°，∴ ∠DEH+∠HEF=60°，课堂练习 课堂练习五、直角三角形1. 性质定理角：直角三角形的两个锐角互余.边：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理) 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识梳理五、直角三角形2. 判定定理角：有两个角互余的三角形是直角三角形.边：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形(勾股定理的逆定理).知识梳理五、直角三角形3. 尺规作图已知斜边和一条直角边作直角三角形.知识梳理如图，已知线段a，c(a90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，垂足分别是点M，N，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长.解：∵ AB的垂直平分线交BC于点E，∴ EA=EB，BM=AM.同理可得AF=FC，AN=CN，∴ △AEF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=2.课堂练习3. 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.课堂练习证明：∵ OE平分∠AOB， EC⊥OA，ED⊥OB，∴ ∠EDO=∠ECO=90°，DE=EC,∴点E在线段CD的垂直平分线上.又∵ OE=OE，∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).∴ DO=CO，∴点O在线段CD的垂直平分线上，∴ OE是CD的垂直平分线.课堂练习九、角平分线1. 性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.符号语言：∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD＝PE.D12知识梳理九、角平分线2. 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.符号语言：∵QD⊥OA，QE⊥OB， QD＝QE， ∴点Q在∠AOB的平分线上 . 知识梳理九、角平分线3. 三角形三个内角的平分线的性质三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.该点称为三角形的内心.知识梳理1. 如图，AP，BP分别是△ABC的外角∠MAC和内角∠MBC的平分线，且相交于点P.求证：CP为∠ACN的平分线.课堂练习证明：如图，过点P分别作AB，AC，BC的垂线段PD，PF，PE.∵ AP是∠MAC的平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，∴ PD=PF.∵ BP是∠MBC的平分线，PE⊥CE，PD⊥AD，∴ PE=PD，∴ PF=PE.又PF⊥AC，PE⊥CE，∴ CP为∠ACN的平分线.课堂练习