初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）3.2 二次根式的乘法和除法课后作业题

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）3.2 二次根式的乘法和除法课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列算式中，正确的是（ ）
A . 33−3=3 B . 5+8=13 C . 13=33 D .9÷3=3
2.下列计算正确的是（ ）
A . 12-3=3 B . 3×2=6 C . 3+2=5 D .8÷2=4
3.下列式子为最简二次根式的是（ ）
A . x5 B . 8 C . x2-9 D .3x2y
4.计算： 2×3=（ ）
A . 1 B . 2 C . 5 D .6
5.3的倒数是（ ）
A . - 3 B . - 33 C . -3 D .33
6.在下列各式中，二次根式 a-1的有理化因式是（ ）
A . a+1 B . a-1 C . a+1 D . a-1
7.如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰 Rt△DBE沿 BC方向平移一段距离，使顶点E恰好落在 △ABC的 AC边上，若 DB=7cm ， AB=13cm ， 则平移的距离为（ ）
A . 53cm B . 33cm C . 23cm D .9cm
8.下列根式中能与 6合并的是（ ）
A . 24 B . 5 C . 12 D .8
二、填空题
1.（-3） 2的算术平方根是 ________ ， −3的倒数是 ________ ．
2.如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ， D是 AB的中点， BE⊥CD ， 交 CD的延长线于点E．若 AC=1 ， BC=2 ， 则 BE的长为 ________ ．

3.如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西 45°方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东 60°方向，则此时船与小岛P的距离 BP的长为 ________ 海里．（结果保留根号）．
4.如图，在矩形 ABCD中， AB=4，AD=8，E是 AD上一点， AE=2，P是 BC上一动点，连接 AP，取 AP的中点F，连接 EF ， 当线段 EF取得最小值时，线段 PD的长度是 ________ ．
5.如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果 S1= 75cm2,S2=15cm2,那么大正方形的面积S= ________ cm2
6.观察分析下列数据： 2,23,6,45 ， ……则第17个数据为 ________ ．
三、综合题
1.在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：
（ 1 ） 23=2×33×3=233；
（ 2 ） 23+1=2(3-1)(3+1)(3−1)=2(3−1)2=3−1 ．
试试看，将下列各式进行化简：
（1） 12 ；
（2） 12+1 ；
（3） 11+2+12+3+…+18+9 ．
2.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2＝（1+ 2） 2.设a+b 2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b 2＝m 2+2n 2+2mn 2 ， ∴a＝m 2+2n 2 ， b＝2mn.这样可以把部分a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1） 当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3＝（m+n 3） 2 ， 用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ， b＝ .
（2） 利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + 5＝（ + 5） 2；
（3） 化简116−67−111+47
3.观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−11=2−1
例2： 13+2=3−2 ， 14+3=4−3 ，15+4=5−4
（1） 16+5= ________ ； 1100+99= ________ ；
（2） 请你用含 n （ n 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3） 利用上面的结论，求下面式子的值.
12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+1100+99
4.综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.
（1） 若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 3 dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.
（2） 若畅畅的方案中正方形②的边长为 42 dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.
（3） 若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 2 dm，则 ________ 的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)
5.根据题意解答
（1） 已知x= 3 +1，y= 3 ﹣1，求下列各式的值．
①x2+2xy+y2
②x2﹣y2
（2） 先化简，再求值： 2aa2−4 ÷（ a2a−2 ﹣a），其中a= 3 ﹣2．
四、解答题
1.阅读与思考
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例： 3×3=3，6−26+2=6−2=4 ， 我们称 3的一个有理化因式是 3，6−2的一个有理化因式是 6+2 ．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
例： 13=1×33×3=33， 86−2=86+26−26+2=86+24=26+22 ．
请仿照材料中的方法解答下列问题：
（1） 13的一个有理化因式为___________；
11+10的一个有理化因式为___________；
（2） 将下列各式进行分母有理化：
① 515；② 422−2 ．
2.如图，李明家有一块矩形空地 ABCD ， 已知 BC=108m ， AB=27m ． 现要在空地中挖一个矩形水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中矩形水池的长为 19+1m ， 宽为 19−1m ．
（1） 求矩形空地 ABCD的周长．（结果化为最简二次根式）
（2） 已知李明家种植的草莓售价为7元 /kg ， 且每平方米产草莓 15kg ． 若李明家将所收获的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
3.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 53 ， 23 ， 23+1一样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简： 53=533 ， 23=63 ， 23+1=23−13+1)3−1=3−1 ． 以上这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：
（1） 化简： 25+3；
（2） 若a是 2的小数部分，求 3a的值；
（3） 长方形的面积为 35+1 ， 一边长为 5−2 ， 求它的周长．
4.如图，矩形内两相邻正方形面积分别为2和6，请计算大矩形内阴影部分的面积．
五、阅读理解
1.我们已经知道 13+313−3=4 ， 因此将 813−3分子、分母同时乘“ 13+3”，分母就变成了4．例如： 813−3=813+313−313+3=813+34=213+6 ， 从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知 a=23+1 ， b=23−1 ．
（1） 化简 a ， b；
（2） 求代数式 2a2+ab+2b2的值．
2.阅读下面问题：
阅读理解：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2 ﹣1；
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2 ；
15+2=1×(5−2)(5+2)(5−2)=5−2 .
应用计算：
（1） 17+6 的值；
（2） 1n+1+n （n为正整数）的值.
（3） 11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100 的值.
3.阅读下列材料，然后回答问题．
①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 23+1一样的式子，可以将其进一步化简： 23+1=23−13+13−1=23−132−1=23−12=3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算．请结合上述材料，解决如下问题：
（1） 计算： 13+1+15+3+…+12025+2023；
（2） 已知 15+x2−26−x2=1 ， 求 15+x2+26−x2的值；
（3） 已知 x=n+1−nn+1+n,y=n+1+nn+1−n ， 且 19x2+123xy+19y2=1985 ， 试求正整数n．