初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第3章 二次根式3.2 二次根式的乘法和除法复习练习题

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）第3章 二次根式3.2 二次根式的乘法和除法复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.下列各等式成立的是（ ）
A . 4 5×2 5=85
B . 5 3×4 2=205
C . 4 3×3 2=75
D . 5 3×4 2=206
2.在下列各式中，二次根式 a-1的有理化因式是（ ）
A . a+1 B . a-1 C . a+1 D . a-1
3.下列计算，结果正确的是（ ）
A . 5+2=7 B . 5−2=3 C . 5×2=10 D .5+2=52
4.计算 12×3的结果是（ ）
A . 3 B . 6 C . 6 D .26
5.下列运算中正确的是（ ）
A . 22=±2 B . −32=−3 C . 2×3=6 D .2+3=5
6.若 12与最简二次根式 2t−1能合并成一项，则t的值为（ ）
A . 6.5 B . 3 C . 2 D . 4
7.下列x的值能使 x-6有意义的是（ ）
A . x=1 B . x=3 C . x=5 D . x=7
8.下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A . 4 B . 5 C . 12 D .13
二、填空题
1.已知 9+x−3−x=2 ， 则 9+x+3−x= ________ ．
2.如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果 S1= 75cm2,S2=15cm2,那么大正方形的面积S= ________ cm2
3.阅读材料：希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a ， b ， c ， 记 p=a+b+c2 ， 那么三角形的面积为 S=p(p−a)(p−b)(p−c) ． 如图，在 △ABC中， a=7 ， b=5 ， c=6 ， 则 BC边上的高为 ________ ．

4.如图，在 Rt△ABC中， ∠ACB=90° ， D是 AB的中点， BE⊥CD ， 交 CD的延长线于点E．若 AC=1 ， BC=2 ， 则 BE的长为 ________ ．

5.如图，一艘轮船以每小时15海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于西北方向（北偏西 45°方向），2小时后轮沿到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东 60°方向，则此时船与小岛P的距离 BP的长为 ________ 海里．（结果保留根号）．
6.已知若 a、 b是 12−3分别是整数部分和小数部分，则 a2−1+3b的值为 ________ ．
7.三角形三边长分别为 12cm、 27cm和 48cm，则这个三角形的周长是 ________ ．
三、综合题
1.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 2＝（1+ 2） 2.设a+b 2=(m+n2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b 2＝m 2+2n 2+2mn 2 ， ∴a＝m 2+2n 2 ， b＝2mn.这样可以把部分a+b 2的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1） 当a、b、m、n均为正整数时，若a+b 3＝（m+n 3） 2 ， 用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ， b＝ .
（2） 利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + 5＝（ + 5） 2；
（3） 化简116−67−111+47
2.综合与实践
问题情境：学校计划利用长和宽分别为 20 dm 和 10 dm 的长方形铁片裁剪焊接成两个无盖的长方体铁箱用于存储备用实验材料，欣欣和畅畅设计了两种不同的裁剪焊接方案.
欣欣的方案：如图 1，先将铁片分为左右两个全等的正方形，分得的每一块都在其四个直角处剪掉四个小正方形，再分别沿虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为正方形的无盖长方体铁箱.
畅畅的方案：如图 2，先将铁片在中间剪掉一块正方形②，再在四个直角处剪掉四个小正方形，最后分别沿着虚线折起来，得到两个同样大小、且底面为长方形的无盖长方体铁箱.
（1） 若欣欣的方案中剪掉的小正方形的边长为 3 dm，求裁剪焊接成的铁箱的底面正方形①的面积.
（2） 若畅畅的方案中正方形②的边长为 42 dm，求裁剪焊接成的一个无盖长方体铁箱的体积.
（3） 若这两种方案所制作的无盖长方体铁箱的高都是 2 dm，则 ________ 的方案中制作的无盖长方体铁箱的体积更大.(填“欣欣”或“畅畅”)
3.观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：12+1=2−1(2+1)(2−1)=2−1(2)2−1=2−11=2−1
例2： 13+2=3−2 ， 14+3=4−3 ，15+4=5−4
（1） 16+5= ________ ； 1100+99= ________ ；
（2） 请你用含 n （ n 为正整数）的关系式表示上述各式子；
（3） 利用上面的结论，求下面式子的值.
12+1+13+2+14+3+⋅⋅⋅+1100+99
4.根据题意解答
（1） 已知x= 3 +1，y= 3 ﹣1，求下列各式的值．
①x2+2xy+y2
②x2﹣y2
（2） 先化简，再求值： 2aa2−4 ÷（ a2a−2 ﹣a），其中a= 3 ﹣2．
5.在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：
（ 1 ） 23=2×33×3=233；
（ 2 ） 23+1=2(3-1)(3+1)(3−1)=2(3−1)2=3−1 ．
试试看，将下列各式进行化简：
（1） 12 ；
（2） 12+1 ；
（3） 11+2+12+3+…+18+9 ．
四、解答题
1.据研究，从高空抛物时间（秒）和高度h（米）近似满足公式t= h5（不考虑风速影响）．
（1） 从50米高空抛物到落地所需时间t 1的值是多少？
（2） 从100米高空抛物到落地所需时间t 2的值是多少？
（3） t 2是t 1的多少倍？
2.在 Rt△ABC中， ∠C=90° ， BC=2AC=6 ， 点D为线段 BC上一点，连接 AD ．
（1） 如图1，若 AD=33 ， 求 BD的长；
（2） 如图2，当 AD=BD ， 作 DE平分 ∠ADC ， 交 AC于E，求 CE的长；
（3） 如图3，点D为射线 BC上一点，连接 AD ， 将线段 AD绕A点顺时针旋转 90°得 AF ， 连接 BF ， 当 2CD=BD时，请直接写出F到直线 AB的距离．
3.如图，方格纸中小方格的边长均为1，求△ABC的面积.
4.矩形的两条边长分别是 23+2和 23-2 ， 求该矩形的面积和对角线的长．
5.小明同学在解决问题“已知 a=12+3 ， 求 2a2−8a+1的值”时，他是这样解答的：
∵a=12+3=2−32+32−3=2−3 ， ∴3=2−a ， ∴(3)2=(2−a)2 ， ∴a2=4a−1 ．
∴2a2−8a+1=24a−1−8a+1=8a−2−8a+1=−1 ．
请你认真理解小明的解答过程，解决如下问题：
（1） 化简： 12+1+13+2+14+3+⋯+12025+2024；
（2） 已知 x=12−1 ， 求 2x3−8x2+3x+7的值．
五、阅读理解
1.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契（约1170﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第n个数可以用 15 [ (1+52)n ﹣ (1−52)n ]表示（其中，n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．
任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．
2.阅读下面问题：
阅读理解：
12+1=2−1(2+1)(2−1)=2 ﹣1；
13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2 ；
15+2=1×(5−2)(5+2)(5−2)=5−2 .
应用计算：
（1） 17+6 的值；
（2） 1n+1+n （n为正整数）的值.
（3） 11+2+12+3+13+4+⋯+198+99+199+100 的值.
3.我们已经知道 13+313−3=4 ， 因此将 813−3分子、分母同时乘“ 13+3”，分母就变成了4．例如： 813−3=813+313−313+3=813+34=213+6 ， 从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：已知 a=23+1 ， b=23−1 ．
（1） 化简 a ， b；
（2） 求代数式 2a2+ab+2b2的值．