湖北省部分重点高中2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合要求的）
1. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出 、 的值，即可求得双曲线的渐近线方程.
【详解】在双曲线 中， ， ，因此，该双曲线的渐近线方程为 .
故选：C.
2. 直线 的倾斜角为 ， 的一个方向向量为 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线 的倾斜角和 的方向向量分别求出两直线的斜率，再利用两直线垂直的条件计算即可.
【详解】直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由 ，得 ，
故 .
故选：B.
3. 已知点 是抛物线 上一点， 为抛物线 焦点， 为线段 的中点，则
（ ）
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A. 2 B. 3 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由中点横坐标推出 点横坐标，再由抛物线定义求得 的值.
【详解】已知 ，设 ，因为 为线段 的中点，所以 ，
又由题知 ，所以 .
故选：C.
4. 某校元旦文艺汇演共有 9 位节目评委，彼此独立给表演节目评分（可以评相同的分数），以去掉一个最高
分和一个最低分之后的 7 个评分的平均分为最终节目得分.现 9 位评委对某节目评出 9 个分数，则这 9 个评
分数据 与 去掉一个最高分和一个最低分后的 7 个评分数据 的极差、第 40 百分位数、平均数、方差中，
一定不发生变化的是（ ）
A. 极差 B. 第 40 百分位数 C. 平均数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】根据极差、百分位数、平均数、方差的概念逐项分析.
【详解】不妨设 9 个初始数据由小到大为
则去掉一个最高分和一个最低分之后的 7 个得分数据为
对于 A： 个评分数据的极差为 ， 个评分数据的极差为 ，
当且仅当 时取等号，若有一组数据不相等，则极差不相等，A 错误；
对于 B：因为 ， ，所以两组数据的第 40 百分位数均为 ，B 正确；
对于 C： 个评分数据的平均数为 ， 个评分数据的平均数为 ，
当 时两者相等，否则不相等，C 错误；
对于 D：若 个数据为 ，则 个数据为 ，
此时它们的平均数都是 ，
个数据的方差为 ，
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个数据的方差为 ，
两者不相等，D 错误；
故选：B.
5. 已知 是空间中 3 个两两垂直的单位向量，向量 ， （ 为正数）
且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以 为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量 ， ，利用向量
的数量积运算可得 ，代入所求式子结合二次函数求最值.
【详解】以 为单位正交基底建立空间直角坐标系，可得向量 ， ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
当 时， 的最小值 .
故选：D.
6. 正项数列 中， ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】根据递推关系式求解即可.
【详解】法一，
由递推关系式可知， ，
法二，
不妨设 ，
， ， ，
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.
故选：B
7. 等差数列 中（公差不为零），前 项和为 ， 若 ， ，则 （
）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列前 项和的性质求出 ，再由等差数列通项公式列出方程求解即可.
【详解】等差数列 中，
由 ，可得 ，
由 得 ，
两边用首项 和公差 表示，得 ，
化简可得 ，因为 ，所以 ，
故选：C
8. 双曲线 ： 的左右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线 的左支交
于点 （ 在第二象限）， 为坐标原点，且 被直线 平分，则双曲线 的离心率为 （
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 为中位线及 的三边比求出 ，进而由定义得 与 之间的关系，通过计算得出
离心率.
【详解】如图，
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易知 ，设 与 的平分线交点为 ，
因为 ，则有 ，所以 ，
为 的中点，则 为 的中点，
又在 中， ，
所以 ，
所以 ，
由双曲线定义，可得 ，
所以 ， 所以双曲线 的离心率 ，
故选：B.
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9. 下列对于概率的说法正确的有（ ）
A. 若事件 与事件 互斥，则事件 与事件 对立
B. 若事件 、 满足 ，则
C. 若事件 与事件 相互独立，且 ，则
D. 小明将一枚质地均匀的硬币掷了 100 次，经统计有 51 次正面向上，则将这枚硬币再掷一次，出现正面
朝上的概率是
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥事件与对立事件的定义可判断 A 错误，由概率基本性质可得 B 正确，结合独立事件性质
直接计算可得 C 正确，由概率和频率的关系可知 D 错误.
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【详解】选项 A：若事件 互斥，则 ，
若事件 对立，则 ，且 ，所以互斥事件不一定是对立事件，A 错误；
选项 B：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，B 正确；
选项 C：事件 与事件 相互独立，所以 与 也相互独立，则 ，C
正确；
选项 D：频率是概率的估计值，概率是频率的固定值， 是历史统计结果，
单次试验的结果不受之前频率的影响所以再掷一次出现正面朝上的概率仍然是 ，而不是 ，D 错误.
故选：BC.
10. 以下说法正确的是（ ）
A. 若空间四点 不共面，则 与 不共面
B. 当 三点不共线时，若 ，则 四点共面
C. 直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，当 时，
D. 若平面 的法向量分别为 ，则 与 夹角的正弦值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 A，B 利用共面向量定理判断即可；对于 C，利用空间向量法判断线面关系即可；对于 D，利
用空间向量的夹角公式求解即可.
【详解】选项 A：空间中任意两个向量均为共面向量，故 A 错误；
选项 B：若 ，则 共面，则 四点共面；
选项 C、当 时， 正确
选项 D：设平面 与 的夹角为 ，则 ，故 ，
故选：BCD
11. 已知数列 满足 ， 是 的前 项和，则下列说法一定正确的是（ ）
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A.
B.
C. 是等比数列
D. 若 ，当 为奇数时，满足 的 的最大值为 43
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A，利用 与原式作差即可求解；
对于 B，利用 ，结合等
差数列的求和公式求解即可；
对于 C，利用 可能为 0，即可判断；
对于 D，根据 求解即可.
【详解】由 可得 ，两式相减得 ，故 A 正确；
因为
，故 B 不正确；
因 可能为 0，故 不一定为等比数列，C 不正确；
当 为奇数时，不妨设 ，则
则有 ；
因为 ，故 ，即 ， 时， ，故 D 正确；
（也可直接验证 ， 得出 D 正确），
故选：AD
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三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知数列 的通项公式为 ，前 项和为 ，则当 _____时， 有最小值.
【答案】6
【解析】
【分析】由数列的通项公式判断其符号，根据项的符号确定前 项和的最小值.
【详解】由 可解得 ，即 ，所以 时 ，又 ，
故 时 有最小值，
故答案为： .
13. 已知 为圆 上一个动点， 为坐标原点，且 在圆 外部，
的最小值为 3，则 _______.
【答案】2
【解析】
【分析】利用圆外一点到圆上一点的距离的最小值是该点到圆心的距离减半径求解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
而 ，所以 .
故答案为： .
14. 如图，三棱锥 中，底面 为直角三角形， 为直角， 面 ，且
， 为棱 上一个动点，则 到直线 的距离的最小值为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，根据点到直线距离的向量公式即可求解．
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【详解】以 为原点，以 所在直线为 轴，如图建系，
则 ，
设 ，则 ，
在 方向上投影向量长度为 ，
故 到直线 的距离 ，
当 时， ，
故答案为： ．
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为了提高对数学学科的学习兴趣，某校高二年级举办了一次数学知识竞赛，满分为 100 分，所有参赛同
学的成绩都不低于 50 分，现该校高二年级全体学生中随机抽取了 50 名学生的成绩作为样本数据，按照
分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求该直方图中 的值，并估算所抽取的 50 名学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值
作代表）；
（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于区间 的学生中抽取 5 人，再从这 5 人中随机抽取 2
人，求这两人来自同一组的概率.
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【答案】（1） ，74
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的面积之和为 1，可以求出 ，再根据频率分布直方图可求平均数；
（2）根据分层抽样可得成绩位于区间 的学生中抽取 3 人，位于区间 的学生中抽取 2 人，然
后把所有情况都列举出来，用古典概率计算公式即可求解．
【小问 1 详解】
由 ，解得 ，
样本平均数的估计值约为 .
【小问 2 详解】
由频率分布直方图可知成绩位于区间 与 的频率之比为 3：2，
故频数之比也为 3：2，故从样本中抽取的 5 人有 3 人成绩位于区间 ，2 人成绩位于区间 .
将成绩位于区间 的 3 人记为 ，成绩位于区间 的 2 人记为 ，
则从这 5 人中再随机抽取两人，样本空间
， ；
记事件 “从这 5 人中随机抽取 2 人，这两人来自同一组”，
则 ，
故 ，
即从这 5 人中随机抽取 2 人，这两人来自同一组的概率为 .
16. 已知抛物线 ，直线 与抛物线 交于 两点， 为坐标原点，
.
（1）求 的值；
（2）若 ，且三角形 的面积为 ，求直线 的方程.
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【答案】（1）2 （2） 或
【解析】
【分析】（1）联立直线与抛物线解析式，消元得根与系数关系，根据 ，求出参数 的值，
（2）由两点之间距离公式及点到直线距离公式表示出面积，化简求得 的值.
【小问 1 详解】
（1）将直线 代入 消去 可得
恒成立
设 ，则有
又 ，则有 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
到直线 的距离为 ，
故 ，
解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 .
17. 如图，斜三棱柱 中， ，
分别为棱 的中点.
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（1）求证： ；
（2）若 ，
（ⅰ）求线段 的长度；
（ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】第一问由向量法得数量积为 0，即证垂直；
第二问（ⅰ）建立空间直角坐标系，由两点之间距离公式即可求得；
第二问（ⅱ）求出平面的法向量由直线与平面的夹角公式求得结果.
【小问 1 详解】
，
所以 ，
【小问 2 详解】
（ⅰ）先证 ，由（1）可得 ，所以 平面 .
如图，以 为坐标原点， 和过 且垂直于平面 的直线，
分别为 轴建系，则易得 ， ， ，
， ， ， ，
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所以 .
（ⅱ）由（ⅰ）知 ， ， ，
设面 法向量为 ，可得
令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 已知 是公差为 的等差数列，前 项和为 ，且 三项成等比数列， ，
数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求证： 是等比数列；
（3）求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先利用等差数列前 项和与等比中项的条件求出首项 和公差 ，得到 的通项，再通过
递推关系 推出 为等比数列并求出通项；
（2）先写出 的表达式，用错位相减法求出 ，再通过计算 为常数且首项非零，证明
是等比数列；
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（3）先求出等差数列的前 项和 ，再对 进行裂项变形，通过放缩或直接裂项相消求和，来证明对应
的不等式.
【小问 1 详解】
等差数列 中， ，
又 三项成等比数列，则有 ，即 ，
因为 ，整理得 ，
由 可解得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
两式相减得 ，所以 ，
又 满足 ，所以 ，
所以 是首项为 3，公比为 3 的等比数列， .
【小问 2 详解】
，则有
，
两式相减得
，
所以
所以 且
所以 等比数列得证.
【小问 3 详解】
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因为 是等差数列， ，可求得 ，
解法一：所以 ，
所以 得证，
解法二：所以 ，
所以
，
因为 ，
所以 得证.
19. 圆 的圆心 在直线 上，且圆 过 两点， 为圆 上一个动点， 轴上有
一定点 ，线段 的垂直平分线 与半径 交于点 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹记为曲
线 .
（1）求圆 的标准方程；
（2）求曲线 的方程；
（3）过点 作曲线 的两条切线，与圆 分别交于点 ，求证直线 平行于 轴，并判断直线 与
曲线 的位置关系.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，相切
【解析】
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【分析】(1)解法 1：设圆 的圆心为 ，半径为 ，则有 ，解方程即可求
解；
解法 2：根据线段 的中垂线与直线 的交点为圆心即可求解;
(2)结合椭圆的定义即可求解；
(3)设过点 的椭圆 的切线方程为 ，与椭圆方程联立，则 ，
设切线 的斜率分别为 解得 ，分别求出 的纵坐标即
可求解.
【小问 1 详解】
解法 1：设圆 的圆心为 ，半径为 ，则有
，解得 ，
圆 的标准方程为 .
解法 2：设圆 的圆心为 ，半径为 ，
的中点坐标为 ，直线 的斜率为 ，
故线段 的中垂线方程为 ，整理得 ，
由 可解得 ，即圆心 ，
所以 ，圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
在线段 中垂线上，有 ，
又 所以 ，
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所以 点的轨迹 是以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆。
设该椭圆方程为 ，则 ，
所以该椭圆 的方程为 ；
【小问 3 详解】
由题可得这两条切线的斜率均存在。
设过点 的椭圆 的切线方程为 ，即 ，
由 ，联立消去 并整理得
，
由 ，
可得 ，
设切线 的斜率分别为
则 ， ，
又由 ，联立消去 并整理得
，
由 ，且 可得 ，
所以 ，
同理 ， .
以下给出几种不同解法：
解法一：因为 ，所以 ，
第 17页/共 18页
所以 ，
同理可得， ，所以 ，直线 平行于 轴，
直线 的方程为 ， 过椭圆 的短轴端点 ，故直线 与椭圆 相切.
解法 2：得到 后，设切线 斜率分别为
可解得 ，
代入 ， 可求得 ，
所以直线 平行于 轴.
又直线 的方程为 ， 过椭圆 的短轴端点 ，故直线 与椭圆 相切.
解法 3：
，
因 所以 ，
所以 ，直线 平行于 轴.