湖北省部分普通高中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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（时间：120分钟 满分：150分 考试时间：2024年11月22日）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 第33届夏季奥林匹克运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，金牌榜前10名的国家的金牌数依次为，则这10个数的分位数是（ ）
A. 14.5B. 15C. 16D. 17
3. 如图，在四面体OABC中，，点在线段OA上，且为BC中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（ ）
A. 图（1）的平均数＝中位数＞众数B. 图（2）的众数＜中位数＜平均数
C. 图（2）的平均数＜众数＜中位数D. 图（3）的中位数＜平均数＜众数
5. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ）

A. 1B. C. D. 2
6. 已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
7. 已知事件A，B满足，则 （ ）
A. 若B⊆A，则B. 若A与B互斥，则
C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则C与B相互对立
8. 设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷两枚质地均匀硬币，设事件“第一枚硬币正面向上”，事件“第二枚硬币反面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A. 与互为对立事件B. 与为相互独立事件
C. 与相等D.
10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为
B. 过点且可能垂直轴
C. 若，则或
D. 若，则
11. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，设点，下面结论正确的是（ ）
A. 若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点，则
B. 若点，都不在直线上，直线的方向向量是，若直线与异面且垂直，则
C. 若平面经过点，且为平面的法向量，则平面外存在一点使得成立
D. 若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一组数据的平均数等于21，方差，则这组数据中______．
13. 在正方体中，，，分别是，，各棱的中点．则与平面所成角的余弦值________．
14. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，线段的垂直平分线分别交直线和直线于，两点．若，则点的横坐标为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 袋中有形状、大小都相同编号为的只小球，从中随机摸出只小球，设事件：摸出或号小球，：摸出或号小球，：摸出或号小球．
（1）求事件发生的概率．
（2）求的值．
16. 如图，在棱长为1正方体中，、分别是棱，上的中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的正切值．
17. 江夏区金口“草把龙”是武汉市级非物质文化遗产．“草把龙”是利用金灿灿的稻草包裹而成，制作“草把龙”的稻草要长，颜色要鲜，成色要新．为了提高收割机脱粒和稻草的质量，某企业对现有的一条水稻收割机产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的产品中随机抽取了1000台，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）
（1）估计产品某项质量指标值的70百分位数．
（2）经计算这组样本的质量指标值的平均数和方差分别是61和241．设表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若至少有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功，请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？（参考数据：）
18. 已知直线过定点，直线的方程是．
（1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程．
（2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积最小值．
19. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．
（1）求的长（用表示）；
（2）为何值时，的长最小？
（3）当平面与平面夹角时．求的长．
质量指标值
产品
60
100
160
300
200
100
80