江苏南京市六合区名校联盟2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知全集，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集、交集的定义，即可得答案.
【详解】由题意，所以.
故选：A
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可.
详解】，
所以复数在复平面内对应的点为，
故选：B
3. 已知数列的前n项和为，则对，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用累加法，结合题意可得，由能推出；举出反例，可得“”推不出“”.由充分、必要条件的定义得出答案.
【详解】由得：，，，……，，
不等式左右两边分别相加，得，
消去两边相同的项得，，
所以；
取数列满足，，，且对且有.
满足，，但.不满足.
即“”推不出“”.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
4. 已知函数，则它的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由奇偶性的定义及时函数值符号，应用排除法即可得.
【详解】由题设，函数的定义域为，且，
所以为奇函数，排除B、D，
当时，，故，排除C.
故选：A
5. 已知抛物线，过其焦点的直线与在第一象限的交点为，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义求出的坐标，然后求出直线的斜率，最后利用点斜式求解即可.
【详解】由题意如图所示：
抛物线的焦点为，准线方程为：，
设到准线的距离为，
由抛物线的定义得：，又，
所以，解得：代入中得：，
所以，则直线的斜率为：,
所以直线的方程为：即，
故选：B.
6. ，，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由两角差的正切公式计算.
【详解】．
故选：D.
7. 等腰直角中，，，点M在外接圆上运动，若，则的最大值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出外接圆方程，再根据向量关系得到点M坐标，代入圆方程，最后利用不等式求解的最大值.
【详解】以直角顶点A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，
则：，，，
外接圆圆心为斜边BC的中点O，坐标为，半径为，
故外接圆方程为：．
又因为，其中，，
则．
将代入圆的方程得，
即，
，
∴，
解得，当且仅当时取得的最大值2．
故选：B.
8. 已知，，则（ ）
A. B. C. D. ，但和的大小关系无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性证出且，得出结论即可.
【详解】由于，所以，因此，
又因为，因此，即，
所以.
故选：B.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 已知的面积为且，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】运用三角形面积公式，结合特殊角的正弦值进行求解即可.
【详解】，，
因为， 所以或．
故选：CD
10. 函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周期为6
C.
D. 的图象关于直线对称
【答案】BC
【解析】
【分析】赋值可判断A；赋值，利用递推公式可推出周期，可判断B；令，可得的范围，可判断C；举反例可判断D.
【详解】由 得，代入得，A 错误；
令 得，
用换 得，
两式相加得，即，
用换得，即，
用换得，所以 周期为 6，B 正确；
令 得 ，即 ，
由于，所以，因此，故 C 正确；
已知，，对赋值得：
令得，
令得，
令 ，若关于 对称，则 ，
但 ，，不相等，故 D 错误.
故选：BC
11. 已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ）
A. 越大，则双曲线的离心率越大
B. 过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条
C. 点到两渐近线的距离之积为定值
D. 过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点
【答案】ACD
【解析】
【分析】本题A主要考查双曲线的离心率与渐近线的关系；B考查过双曲线上的一点的直线与渐近线的关系；C利用点到直线的距离求解即可；D根据直线与双曲线联立，求出交点坐标后，利用中点坐标验证即可。
【详解】A,因为双曲线的离心率公式：,所以越大，则双曲线的离心率越大，故A正确；
B，过点与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过点的切线，另两条是与渐近线平行的直线，故B错误；
C，设为双曲线上一点,代入方程得,去分母得，又因为渐近线为,所以点到两条渐近线的距离分别是,所以距离之积,显然是定值，故C正确；
D，设,所以过点的切线方程是,联立切线与渐近线方程可得交点,所以MN的中点坐标=,故D正确;
故选：ACD
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15．则估计出总样本的平均数为_____．
【答案】164
【解析】
【分析】运用总体样本均值公式进行求解即可.
【详解】总样本的平均数为；
故答案为：164.
13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】求得，得到，求得切线方程为，再求得，设曲线的切点为，列出方程组，即可求解.
【详解】由函数，可得，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又由函数，可得，
设曲线的切点为，
则，解得.
故答案为：.
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；
详解】由，
当时，，
当时，，
两式相减，得，即，
所以，
所以，
所以，
由于时，不满足上式，
所以.
故答案为：.
四、解答题（本题共5题，第15题13分，第16-17题每题15分，第18-19题每题17分，共77分)
15. 在中，角所对的边分别为，且,,．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角互化可求得，结合条件求出的正弦值，利用正弦定理即可求出的值；
（2）利用和角的正弦公式求出的值，再由三角形的面积公式计算即得.
【小问1详解】
由，
得，
因为，所以，
所以，则，
因为，所以，
由正弦定理，，因为，
则；
【小问2详解】
因为，
所以
，
则.
16. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（2）求导，对参数分类讨论即可.
【小问1详解】
若，则，，所以，，
故在处的切线方程为，即．
【小问2详解】
因为，且，
当时，时，时，
所以，在上单调递减，在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，时恒成立，故在上单调递增；
当时，时，时，时，
所以，在、上分别单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在、上分别单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在、上分别单调递增，在上单调递减．
17. 在矩形中，，，为的中点，将沿翻折至，使得平面平面，得到如图所示的四棱锥．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】1）利用勾股定理证明垂直，再结合面面垂直的性质定理可证明线面垂直；
（2）利用空间向量法来求线面角的正弦值即可.
【小问1详解】
在矩形中，，，为的中点，
所以，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
又平面，所以．
【小问2详解】
取的中点，的中点，连接，则，所以平面，
由题可得，所以，所以两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则，取，得，，
所以．设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18. 设，，为数列的前项和，令，，．
（1）若，求数列的前项和；
（2）求证：对，方程在上有且仅有一个根；
（3）求证：对，由（2）中构成的数列满足．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意结合错位相减法以及等比数列求和公式即可得解；
（2）求导得函数在上是增函数，结合零点存在定理即可得证；
（3）一方面由结合上单调递增可得，即；另一方面通过放缩、以及裂项相消可得，由此即可得证.
【小问1详解】
若，，则，
则，
，

，
；
【小问2详解】
，，
故函数在上是增函数．
由于，当时，，即．
又，
，
根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足．
【小问3详解】
对于任意，由中构成数列，当时，
，
．
由在上单调递增，可得，即，
故数列为减数列，即对任意的、，．
由于，，
，，
用减去并移项，利用，可得
．
综上可得，对于任意，由中构成数列满足．
19. 有N个人需要通过血液检测某种酶是否存在．假设每个人血液中含有该酶的事件是相互独立的，且含有该酶的概率均为，若血液检测始终能准确判断样本中该酶是否存在．现采用以下分组检测方法：将待检测人群分成r个小组，每组人．在每一组中，取每人的血液混合成一个样本进行检测．
若某组的混合样本检测结果呈阴性（不含酶），则该组内所有人员无需再进行后续检测．
若某组的混合样本检测结果呈阳性（含有酶），则需要对该组内的每一位成员再分别单独检测一次（不用采集血样，利用现有采集过的血样）．
（1）若，，已知某小组的混合样本检测结果呈阳性，求该组内“恰有2人”血液中含有该酶的概率；
（2）用N，k，p表示该方法所需检测次数的期望值；
（3）设检测成本由两部分组成：采集处理血样成本为a元/人份，化验检测成本为b元/次．若，每组人数，且该方法的总成本期望值比“逐一检测”的总成本节省了50%以上，求的取值范围．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设小组中有酶的人数为X，依题意，可知，分别求出与，利用条件概率公式即可求出恰有2人有酶的概率；
（2）设每组检测次数，则易得，求出其分布列和数学期望，进而可求得总检测次数的期望；
（3）利用（2）中若分组检测，由检测次数的期望求得总成本期望，若逐一检测，则总成本为，依题意，代值计算即得的取值范围.
【小问1详解】
设小组中有酶的人数为X，则．
已知混合样本阳性，即，则恰有2人有酶的概率为
．
【小问2详解】
设每组检测次数，则的分布列为
期望为
则总检测次数的期望；
【小问3详解】
若分组检测，检测次数的期望为．
总成本期望，
若逐一检测，则总成本．由节省50%以上得．
代入，，，得，
整理得，因此，，故的取值范围是．
1
p