江苏省南京市鼓楼区名校联盟2026届高三下学期一模数学试卷含解析（word版）

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1. 已知 A=x y=x+1x−2,B=x∈N x2−2x−3≤0 ，则 A∩B= ( )
A. {0,1,2,3} B. {−1,0,1,2,3} C. {0,1,3} D. {−1,0,1,3}
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的定义域化简集合 A ,解不等式化简集合 B ,再利用交集的定义求解.
【详解】依题意, A=x x+1≥0x−2≠0={x∣x≥−1 且 x≠2} ,
B={x∈N∣−1≤x≤3}={0,1,2,3},
所以 A∩B={0,1,3} .
故选: C
2. 已知 O 为坐标原点， Q0,23 ， A ， B 两点在单位圆 x2+y2=1 上，满足 ∠AOB=π3 ，以线段 OA,OB 为邻边作平行四边形 AOBP ,则 PQ 的最大值为( )
A. 23 B. 15 C. 1+23 D. 33
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出 OP 得到点 P 在以 O 为圆心、半径为 3 的圆上即可计算求解.
【详解】由题可知以线段 OA,OB 为邻边所作的平行四边形 AOBP 是边长为 1 的菱形, ∠AOB=π3,
所以 OP=2OAcsπ6=2×1×32=3 ,
所以点 P 在以 O 为圆心,半径为 3 的圆上,
所以 PQ 的最大值为 OQ+3=33 .
故选: D

3. 如图所示，在 △ABC 中， ∠BAC=90∘ ， AB=6 ， AC=8 ， D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上,且 DE=2AE . 则 BE⋅AD= ( )

A. 293 B. −293 C. 296 D. −296
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件,利用基底 AB,AC 表示向量 BE,AD ,再利用数量积的运算律求解.
【详解】由 ∠BAC=90∘ ，得 AB⋅AC=0 .
由 D 是 BC 的中点知, AD=12AB+AC ,且 DE=2EA ,得
AE=13AD=13×12AB+AC=16AB+16AC,
所以 BE=AE−AB=16AC−56AB .
则 BE⋅AD=16AC−5AB×12AB+AC
=112AC2−4AB⋅AC−5AB2=112×82−5×62=−293 .
故选: B.
4. 棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中,点 E 在线段 AC1 上 (不与 A,C1 重合), EF⊥AC 于 F,FG⊥BC 于 G ，以下结论错误的是( )
A. BC⊥ 平面 EFG ;
B. 线段 EF 与线段 FG 的长度之和为定值;
C. 线段 EG 长度的最小值为 22 ；
D. △EFG 面积的最大值为 14 ；
【答案】D
【解析】
【分析】对于 A ,结合图形,利用面面垂直的判定证得平面 ACC1⊥ 平面 ABCD ,再用其性质推得 EF⊥ 平面 ABCD ,得 EF⊥BC ,利用 BC⊥FG ,即可证得结论; 对于 B ,利用平行线分线段成比例性质可求得 EF=22AF 和 FG=22CF ,即可证明; 对于 D、C ,利用 B 的结论,借助于基本不等式可求得 △EFG 面积的最大值和 EG 的最小值，即可判断.
【详解】

对于 A : 如图,在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, CC1⊥ 平面 ABCD ,
又 CC1⊂ 平面 ACC1 ,所以平面 ACC1⊥ 平面 ABCD ,
又平面 ACC1∩ 平面 ABCD=AC,EF⊂ 平面 ACC1 且 EF⊥AC ,
所以 EF⊥ 平面 ABCD ,又 BC⊂ 平面 ABCD ,所以 EF⊥BC ,
又 BC⊥FG, FG∩EF=F, FG,EF⊂ 平面 EFG ,所以 BC⊥ 平面 EFG ,故 A 正确; 对于 B : 因为 CC1⊥ 平面 ABCD,EF⊥ 平面 ABCD ,
所以 EF//CC1 ,所以 △AEF∽△AC1C ,所以 EFCC1=AFAC ,即得 EF=22AF ;
又由 BC⊥FG,BC⊥AB ,所以 AB//FG ,所以 △CFG∽△CAB ,所以 FGAB=CFAC ,
即得 FG=22CF ,
所以 EF+FG=22AF+22CF=22×2=1 ,即 EF+FG 为定值 1,故 B 正确; 对于 D ,由 A 知 EF⊥ 平面 ABCD ,因 FG⊂ 平面 ABCD ,则有 EF⊥FG ,
所以 △EFG 的面积 S△EFG=12EF×FG≤12×EF+FG24=18 ，当且仅当 EF=FG=12 时等号成立,
即当 EF=FG=12 时， △EFG 面积的最大值为 18 ，故 D 错误；
对于 C ,由 D 知 EF⊥FG ,则 EG2=EF2+FG2≥EF+FG22=12 ,当且仅当 EF=FG=12 时等号成立,
即当 EF=FG=12 时，线段 EG 长度的最小值为 22 ，故 C 正确.
故选: D.
5. 已知奇函数 fx 的定义域为 R ,当 x>0 时, xf′x−fx>0 ,则 ( )
A. f1>f2 B. f1>2f2
C. f2>−2f−1 D. f−2>−2f1
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知不等式构造函数, 利用其单调性和奇偶性逐项求解判断.
【详解】令 gx=fxx ,因为当 x>0 时, xf′x−fx>0 , 所以 g′x=fxx′=xf′x−fxx2>0 ,所以 gx 在 0,+∞ 单调递增, gx 定义域为 −∞,0∪0,+∞ ,对 ∀x∈−∞,0∪0,+∞,−x∈−∞,0∪0,+∞ , 且 g−x=f−x−x=−fx−x=fxx=gx ,所以 gx 是偶函数,
对于 A、 B : 因为 g10 ,故 e1=105 ,则 e2=2e1=2105 时等号成立,即 1e1+2e2 取最大值 10 .
因此, e1+e2=105+2105=3105 .
综上所述,当 1e1+2e2 取最大值时, e1+e2=3105 .
故选: C
8. 如图,在平面直角坐标系 xOy 上,有一系列点 P1x1,y1,P2x2,y2,⋯,Pnxn,yn,n∈N∗ ,每个点 Pn 均在函数 y=x2x>0 的图象上. 已知以点 Pn 为圆心的 ⊙Pn 均与 x 轴相切, ⊙Pn 与 ⊙Pn+1 外切,且 xn+10 的图像上,可得 yn=xn2,yn+1=xn+12 ,
所以 xn−xn+12=4xn2xn+12 ,即 xn−xn+1=2xnxn+1 ,所以 1xn+1−1xn=2 ,
所以数列 1xn 是等差数列,且公差为 2,
所以 1xn=1x1+n−1×2=1+2n−1x1x1 ,则 xn=x11+2n−1x1 ,
此时数列 xn 不是等比数列.
故选: C.
二、多选题(每小题 6 分，共 18 分)
9. 上饶市某学校从高一的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高, 被测学生身高全部介于 155cm 和 195cm 之间, 将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160), 第二组[160,165), ..., 第八组 [190,195]. 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分, 已知第一组与第八组人数相同, 第六组的人数为 4 人.以下说法正确的是( )

A. 第二组的频率为 0.016
B. 第七组的频率为 0.06
C. 估计该校高一 800 名男生的身高的中位数约为 174.5cm
D. 估计该校高一 800 名男生的身高的平均数约为 174.1cm
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于 AB ,由频率分布直方图矩形面积为 1 即可求得各组的频率,对于 C ,先确定中位数所在组, 再用中位数计算方法即可求解, 对于 D, 将各组中点值乘以频率后相加即可得到平均数.
【详解】对于 A ,第二组的频率为 0.016×5=0.08 ,故 A 错误;
对于 B ,由题意得第六组人数为 4 人,则有第六组的频率为 450=0.08 ,纵坐标为 0.016,
所以第七组的满足 p=1−50.008+0.016+0.04+0.04+0.06+0.016+0.008=0.06 ,故 B 正确;
对于 C ,由直方图得,身高在第一组 [155,160) 的频率为 0.008×5=0.04 ,
身高在第二组 [160,165) 的频率为 0.016×5=0.08 ,
身高在第三组 [165,170) 的频率为 0.04×5=0.2 ,
身高在第四组 [170,175) 的频率为 0.04×5=0.2 ,
由于 0.04+0.08+0.2=0.320.5 ,
设这所学校高一 800 名男生的身高中位数为 m ，则 1701 时, fx>0,f2=1 . 则下列结论正确的是( )
A. f1=0
B. 函数 fx+1+f1−x 为偶函数
C. fx 在 0,1 上单调递减,在 1,+∞ 上单调递增
D. 不等式 fx−fx−1>1 的解集为 0,2
【答案】AB
【解析】
【分析】利用赋值法判断 A ,结合题意并利用偶函数的定义判断 B ,利用函数单调性的定义判断 C , 将目标不等式合理转化判断 D 即可.
【详解】令 x=y=1 ,得 f1=f1+f1 ,即 f1=0 ,故 A 正确;
令 gx=fx+1+f1−x ,
则 g−x=f−x+1+f1−−x=f1−x+f1+x=gx ,
即 fx+1+f1−x 是偶函数,故 B 正确;
当 x>1 时,因为 y>0 ,所以 xy>y ,
因为 fxy=fx+fy ,所以 fxy−fy=fx>0 ,
则 fx 在 0,+∞ 上单调递增,故 C 错误;
由题意知 f2=1 ,且 x>1 ,
因此不等式 fx−fx−1>1 可化为 fxx−1>f2 ,
因为 fx 在 0,+∞ 上单调递增,
所以 xx−1>2 ,解不等式得 10 , 所以 12a2−4a2=1 ,解得 a2=8 ,得到双曲线的方程为 x2−y2=8, A 错误;

对于 B ,如图,由题知 ∠F1PT=∠F2PT,∠F1PT=∠QPM ,所以 ∠MPQ=∠F2PT ,
若 HP⊥TM ,所以 ∠F2PH=∠QPH, B 正确;
对于 C ,记 PF1=m,PF2=n ,
所以 F1F22=m2+n2−2mncs∠F1PF2=m−n2+2mn−2mncs∠F1PF2 ,
又 F1F2=2c,m−n=2a ,得到 mn=2b21−cs∠F1PF2 ,又 S△F1PF2=12mnsin∠F1PF2 ,
所以 S△F1PF2=12×2b21−cs∠F1PF2×sin∠F1PF2=b2tan∠F1PF22 ,又 ∠F1PF2=π2 ,
由 12mn=b2tan45∘=8 ,得 mn=16,C 正确;
对于 D ,因为 ∠F1PF2=60∘,PF1=m,PF2=n ,
由 12mnsin60∘=b2tan30∘ ,得 mn=32 ,
所以 S△PF1F2=12mnsin60∘=12×32×32=83 , D 正确.
故选: BCD.
三、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
12. 二项式 1−x8 的展开式中 x4 的系数为_____.
【答案】 70
【解析】
【分析】求二项式 1−x8 的展开式的通项,由条件求 r ,由此可得结论.
【详解】由题意知二项式 1−x8 的展开式的通项为 Tr+1=C8​r18−r−xr=C8​r−xr , 令 r=4 ,
则 x4 的系数为 C84=8×7×6×54×3×2=70 .
故答案为:70
13. 已知直线 y=−2x+c 与函数 fx=12x2−3lnx 的图象相切,则实数 c= _____.
【答案】 52 ## 2.5
【解析】
【分析】设函数 fx=12x2−3lnx 在点 x0,y0 处的切线为 y=−2x+c ,根据导数的几何意义列式计算可求得 c .
【详解】设函数 fx=12x2−3lnx 在点 x0,y0 处的切线为 y=−2x+c ,
函数 fx=12x2−3lnx 的定义域为 0,+∞ .
由 fx=12x2−3lnx ,得 f′x=x−3x ,所以 f′x0=x0−3x0=−2 ,
所以 x02+2x0−3=0 ,解得 x0=−3 (舍去) 或 x0=1 .
又 f1=12×12−3ln1=12 ，所以切点为 1,12 ，
又切点在直线 y=−2x+c 上,所以 12=−2×1+c ,解得 c=52 .
故答案为: 52 .
14. 一个不均匀的骰子,掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列. 独立地先后掷该骰子两次,所得的点数分别记为 a,b . 若事件“ a+b=7 ” 发生的概率为 17 ,则事件“ a=b ” 发生的概率为_____.
【答案】 421
【解析】
【分析】利用等差数列性质以及分布列性质可得 p1+p2+⋯+p6=1 ,且 p1+p6=p2+p5=p3+p4=13 ; 再利用完全平方公式计算可得结果.
【详解】设掷出 1,2,⋯,6 点的概率分别为 p1,p2,⋯,p6 ;
由于 p1,p2,⋯,p6 成等差数列,且 p1+p2+⋯+p6=1 ,故 p1+p6=p2+p5=p3+p4=13 ;
事件“ a+b=7 ”发生的概率为 P1=p1p6+p2p5+p3p4+p4p3+p5p2+p6p1 ;
事件“ a=b ”发生的概率为 P2=p12+p22+⋯+p62 ;
于是 P1+P2=p1+p62+p2+p52+p3+p42=3⋅132=13 ;
由于 P1=17 ,所以 P2=13−17=421 .
故答案为: 421
四、解答题(本题共 5 题，第 15 题 13 分，第 16-17 题每题 15 分，第 18-19 题每题 17 分, 共 77 分)
15. 已知数列 an,bn 满足 a1=3,b1=1,an=an−1−bn−1+2n,bn=bn−1−an−1+2n,n≥2 .
(1)证明:数列 an−bn 是等比数列；
(2)求 an 的通项公式，并求 an 的前 n 项和 Sn .
【答案】(1)证明见解析
(2) an=2n−1+2n ， Sn=2n+n2+n−1
【解析】
【分析】(1) 利用递推式相减得出 an−bn 的递推关系,进而得出 an−bn 是等比数列;
(2)求出 an−bn 的通项公式，再利用递推式相加得出 an+bn 的递推关系求出 an−bn 通项公式， 进而求出 an 的通项公式及前 n 项和 Sn .
【小问 1 详解】
证明: ∵an=an−1−bn−1+2n,bn=bn−1−an−1+2n ,
两式相减得 an−bn=an−1−bn−1+2n−bn−1+an−1−2n=2an−1−bn−1 ,
∴an−bnan−1−bn−1=2n≥2 ,
又 ∵a1−b1=2 ,
∴ 数列 an−bn 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
【小问 2 详解】
数列 an−bn 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
∴an−bn=2×2n−1=2n ,
∵an=an−1−bn−1+2n,bn=bn−1−an−1+2n ,
两式相加得 an+bn=an−1−bn−1+2n+bn−1−an−1+2n=4n ,
∴an+bn=4nn≥2, an+1+bn+1−an−bn=4n≥2 ,
当 n=1 时， a1+b1=4 满足上式，
∴ 数列 an+bn 是首项为 4,公差为 4 的等差数列,即 an+bn=4n ,
∴an−bn=2nan+bn=4n ,解得 an=2n−1+2n ,
∴Sn=20+21+⋯+2n−1+2+4+⋯+2n=1⋅1−2n1−2+2+2n⋅n2
=2n+n2+n−1 .
16. 已知集合 U 含有 n 个元素，其中 n≥2 ，先后两次随机、独立地选取集合 U 的两个子集，记为
A 与 B . 设 X 为集合 A∪B 中元素的个数,
(1)若 U={1,2} ，且 X=1 ，请列举所有满足条件的 A 和 B ；
(2)求随机变量 X 的数学期望 EX ；
(3)设 PX=k 在 k=m 处取得最大值，试建立 m 与 EX 的关系.
【答案】(1)答案见解析
(2) 3n4
(3)答案见解析
【解析】
【分析】(1)根据新定义求解即可;
(2)分类讨论,根据随机变量 X 服从二项分布,利用期望公式求解即可;
(3)列出不等式组，求出 m 取值范围，分类求 m 与 EX 的关系即可.
【小问 1 详解】
由题意, A=⌀,B={1};A={1},B=⌀;A=⌀,B={2};A={2},B=⌀ ;
A={1},B={1};A={2},B={2}.
【小问 2 详解】
根据集合 U 的子集个数,可知集合 A 的可能情况有 2n 种; 同理,集合 B 也可能有 2n 种.
因此,两集合的所有可能情况数为 2n×2n=4n .
X 的所有取值为 0,1,⋯,n .
当 X=kk=0,1,⋯,n 时,先从 n 个元素中选出 k 个元素,记为 xii=1,2,⋯,k ,有 Cnk 种可能情况;
对于这 k 个元素中的每个元素 xii=1,2,⋯,k ,满足 xi∈A∪B 时,
只可能满足 xi∈CAB,xi∈CBA,xi∈A∩B 这三种情况之一,有 3k 种可能情况.
因此,事件“ X=kk=0,1,⋯,n ” 的所有可能情况数为 Cnk3k ,则 PX=k=Cnk⋅3k4n
由 PX=k=Cnk⋅3k4n=Cnk34k14n−k ,可知 X∼Bn,34 ,则 EX=3n4 .
【小问 3 详解】
若 m=0 ,由 PX=0=14n,PX=1=3n4n ,则 PX=1>PX=0 ,矛盾.
若 m=n ,由 PX=n−1=n⋅3n−14n,PX=n=3n4n 可知,当 n=2 时,满足 PX=n−1