高中数学人教A版 (2019)必修 第二册立体图形的直观图教学课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册立体图形的直观图教学课件ppt，共81页。PPT课件主要包含了感悟提升，画底面，画侧棱，题型强化训练，练习1，反思感悟，练习2，正三棱柱直观图如图，练习3，直观图的还原技巧等内容，欢迎下载使用。
1.理解“斜二测画法”的概念，掌握其“横不变、纵减半、平行性不变、z轴线段保长”的核心规则。2.能熟练运用斜二测画法画出水平放置的简单平面图形（正多边形、直角梯形等）的直观图。3.会用斜二测画法绘制常见空间几何体（长方体、圆柱、圆锥、正三棱柱）及简单组合体的直观图。4.能根据直观图还原原平面图形或空间几何体，进行相关长度、面积的计算，体验数形结合思想。
水平放置的平面图形的直观图的画法
8.2 立体图形的直观图
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特．为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同.在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.
如图8.2-1,矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?
一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关,而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关,若一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形(图8.2-2).
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法．利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：
用斜二侧画法画水平放置的正六边形的直观图.
问题:你认为画水平放置的多边形的直观图的关键是什么?
关键是确定多边形顶点的位置.
在利用斜二测画法画直观图的过程中，x轴和y轴起到了什么作用？
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题．生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图．实际画图时常用如图8.2-5所示的椭圆模板．
画空间几何体直观图与平面图形的直观图画法相比，只是多画了一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴（或在z轴上）的线段的平行性和长度都不变.
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．
（1）相等的线段在直观图中仍然相等． （ ）（2）平行的线段在直观图中仍然平行． （ ）（3）一个角的直观图仍是一个角． （ ）（4）相等的角在直观图中仍然相等． （ ）
（1）×，正方形的邻边相等，但在用斜二测画法画出的直观图中成了 2倍关系；
（2）√，在斜二测画法中，原图形中平行的线段在直现图中仍然平行；
（3）√，虽然角的度数会发生改变，但仍是一个角；
（4）×，在水平放置的正方形中相邻的两个角都是直角，但在用斜二测 画法画出的直观图中一个为45°，另一个为135°．
2．用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）．
（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形．
空间几何体直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变．下面介绍几种简单几何体的直观图的画法．
已知长方形的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.
画棱柱的直观图，通常将其底面水平放置．利用斜二测画法画出底面，再画出侧棱，就可以得到棱柱的直观图．长方体是一种特殊的棱柱，为画图简便，可取经过长方体的一个顶点的三条棱所在直线作为x轴、y轴、z轴．
注明：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感．
用斜二测画法画长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体的直观图．
(1) 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．(2) 关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．
已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线（图8.2-8)．
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性（图8.2-9)．
1.画空间几何体的直观图应遵循的原则(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快、较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向．(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，平行性与长度都与原来保持一致．(4)画空间几何体的直观图，可先画出底面的平面图形，坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，然后画出竖轴．此题也可以把点A，B，C，D放在坐标轴上，画法实质是各顶点的确定．
2.画空间几何体的直观图的策略(1)画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，并成图．(2)画空间几何体的步骤可简单总结为：
某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．画出这个组合体的直观图．
画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了．
如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图．
已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图？
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线； 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆．同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性．
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直；(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变；(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半；(4)平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变．　　
如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的（ ）
【答案】C【知识点】由直观图还原几何图形【分析】根据斜二测画法的规则判断．【详解】由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一 象限内的边平行于y′轴， 故选：C.
题型一、平面图形的直观图的画法
画平面图形直观图的关键(1)在已知图形中建立直角坐标系时尽量利用原图形的对称性和图形中的垂直关系．(2)画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定．
用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱的直观图.
题型二、空间几何体的直观图的画法
建立空间直角坐标系，可以底面三角形一边所在直线为x轴，高所在直线为y轴，过这边中点，与底面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，斜二测画法中，x′轴水平，z′轴与x′轴垂直，y′轴与 x′夹角为45°，平行于x轴、z轴的线段仍平行于x′轴、z′轴，长度不变，平行于y轴的线段仍平行y′轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去坐标轴得直观图．
本题考查空间几何体的斜二测画法，属于基础题．
立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)画底面：x′O′y′平面表示水平平面，y′O′z′平面和x′O′z′平面表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图．(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
题型三、直观图的还原与计算
1．直观图还原平面图形的策略
2．直观图与原图面积之间的关系
1．知识清单：(1)水平放置的平面图形的直观图的画法．(2)直观图的还原与计算．(3)空间几何体直观图的画法．
2．方法归纳：转化思想．
3．常见误区：同一图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠x'O'y'＝45º(或135º)，它们确定的平面表示水平面．
利用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤：
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段．
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
①画出底面的直观图；②画平行于z轴的线段，并保持长度不变;③成图（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）．
利用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤：
教材第112页第3--7 题
1．用斜二测画法画一个棱长为3的正方体的直观图．
2．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图．
3．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心．画出这个组合体的直观图．
习题8.2（第111页）
（1）三角形的直观图是三角形． ( )（2）平行四边形的直观图是平行四边形． ( )（3）正方形的直观图是正方形． ( )（4）菱形的直观图是菱形． ( )
2．用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图：
（1）直角边横向； （2）斜边横向．
3．用斜二测画法画出底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm的正三棱柱的直观图．
4．画底面半径为1 cm，母线长为3 cm的圆柱的直观图．
5．一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图．
6．已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图．
7．立几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图．
画法几何就是在平面上绘制空间图形，并在平面图上表达出空间原物体各部分的大小、位置以及相互关系的一门学科．它在绘画、建筑等方面有着广泛的应用．
画法几何起源于欧洲文艺复兴时期的绘画和建筑技术．意大利艺术家莱奥纳多·达·芬奇(1452一1519)在他的绘画作品中已经广泛地运用了透视理论，主要是中心投影．法国数学家德萨格（1593—1662)在他的“透视法”中给出了空间几何体透视像的画法，以及如何从平面图中正确地计算出几何体的尺寸大小的方法，主要是运用正投影．后来法国数学家蒙日经过深入研究，在1799年出版了《画法几何学》一书．在该书中，蒙日笫一次详细阐述了怎样把空间（三维）物体投影到两个互相垂直的平面上．并根据投影原理（这种原理后来发展成射影几何学）推断出该空间物体的几何性质．蒙日的《画法几何学》不论是在概念上，还是在方法上都有深远的影响．这种方法对于建筑学、军事学、机械制图等方面都有极大的实用价值，从此画法几何就成为一门独立的几何分支学科．蒙日成为画法几何的创始人．
蒙日生长在法国大革命时代，他出生于法国东部博祜的一个小商人家庭．16岁时，因为熟练地以比例尺绘出家乡的地图，他被梅济耶尔军事学院聘为绘图员．1768年，蒙日开始在梅济耶尔军事学院教授物理和数学，那时他只有22岁．1780年，他被选为巴黎科学院通讯院士．1783年，他迁居巴黎后，积极投身巴黎的公共事务，曾任度量衡委员会的委员、海军与殖民部长，并参与创办了巴黎综合工科学校和法兰西国家研究院．为了从数据中求出要塞中炮兵阵地的位置．蒙日用几何方法避开了麻烦的计算．他用二维平面上的适当投影来表达三维物体的聪明方法，在实际中有着广泛的应用，并导致画法几何的生．法国大革命前后，由于军事建筑上的迫切需要，蒙日的画法几何方法被列为军事秘密，所以很久未能公之于世，直到当时的军事约束解除后，蒙日才公布了他的研究成果．这已是他建立画法几何之后30年的事了．