初中17.1 等腰三角形达标测试

这是一份初中17.1 等腰三角形达标测试，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A .13×（12）5a
B .12×（13）5a
C .13×（12）6a
D .12×（13）6a
2.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（ ）
A . 2，3，4 B . 5，5，10 C . 2，2，1 D . 1，2，3
3.已知实数x，y满足|x−4|+（y−8） 2＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A . 20或16 B . 20 C . 16 D . 以上答案均不对
4.“ab C . a=b D . a=b或a>b
5.如图，面积为4的等边三角形 ABC中，D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，则 △DEF的面积是（ ）
A . 1 B . 12 C . 13 D .14
6.下列四个选项中，说法不正确的是（ ）
A . 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
B . 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C . 顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形
D . 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
7.下列命题中，不正确的是（ ）
A . 等角对等边
B . 两点之间，线段最短
C . 同旁内角互补
D . 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8.下列说法正确的是（ ）
A . 四边形具有稳定性
B . 如果一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是直角三角形
C . 点 (2,-3)关于x轴对称的点的坐标是(-2,-3)
D . 一个等腰三角形的两边长为3和7，则它的周长为13或17
二、填空题
1.如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为 ________ ．
2.△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB=50°，点D、点E是射线BA上的两个点，且满足AD=AC，BE=BC，则∠DCE的度数为 ________ ．
3.如图，在凸四边形ABCD中，AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC等于 ________
4.如图，小红作出了边长为1的第1个正三角形△A 1B 1C 1 ， 算出了正△A 1B 1C 1的面积，然后分别取△A 1B 1C 1三边的中点A 2B 2C 2 ， 作出了第二个正三角形△A 2B 2C 2 ， 算出第2个正△A 2B 2C 2的面积，用同样的方法作出了第3个正△A 3B 3C 3 ， 算出第3个正△A 3B 3C 3的面积，依此方法作下去，由此可得第n次作出的正△A nB nC n的面积是 ________ ．
5.我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知 A0,4 ， B4,0两点， C是线段 AB上一点，且 AC=2 ， 点 Pa,b是直线 y=−12x上的动点，若在 △OAB内部（不包含边界）始终有一点 Q ， 使得四边形 APQC为“和谐四边形”，则 a的取值范围是 ________ ．
6.已知等腰ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则ΔABC的面积为 ________ .
7.如图： ∠MAN是一钢架，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管 BC、 CD、 DE、 …添加的钢管长度都与 AB相等，若 ∠MAN=x时，最多能添这样的钢管5根，则 x的取值范围是 ________ ．

三、作图题
1.如图是一个 12×12的正方形网格．在网格中建立平面直角坐标系 xOy ， 已知点 A坐标为 −5,−3 ， 点 B坐标为 1,−5 ．
（1） 作出线段 AB关于 x轴对称的线段 A1B1；
（2） 在正方形网格中作以 A1B1为斜边的等腰直角三角形 A1B1C ， 并求出 △A1B1C的面积．
2.在如图所示的4×4方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上。以其中三个点为顶点，能构成多少个等腰三角形?
3.某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长分别为 6 m 、 8 m ．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为一个直角边长的直角三角形，请在下面三张图上分别画出三种不同的扩建后的图形，并求出扩建后的等腰三角形花圃的面积．
4.定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分割成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1，线段 BD将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了两个等腰三角形，则线段 BD是 △ABC的“双等腰线”；线段 BD ， CE将顶角为 36∘的等腰三角形 ABC分成了三个等腰三角形，则线段 BD,CE是 △ABC的“三等腰线”．
（1） 请在图2中，作出 △ABC的“双等腰线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数：
① ∠A=20∘ ， ∠B=40∘；
② ∠A=67.5∘,∠C=90∘ ．
（2） 请在图3中，画出顶角为 45∘的等腰三角形 ABC的“三等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种即可）；
（3） 画图和计算：在 △ABC中， ∠C=25.5∘ ， 点 D在 BC边上，点 E在 AB边上， AD和 DE是 △ABC的“三等腰线”，且 AD=CD,BE=DE ， 请试画出示意图，并求 ∠B的度数．
四、综合题
1.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响.
（1） 着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2） 若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
2.如图，甲、乙两个勘探队对A，B，C三处的地质情况进行勘测，发现三处之间的距离两两相等.甲、乙两队分别同时从A处和B处沿着 AB 和 BC 方向以相同的速度行进，经过t小时后，分别到达P，Q处，连接 PC 并延长，交 AQ 于点G.
（1） 证明： △PBC≌△QCA .
（2） 在甲队从B处到P处，乙队从C处到Q处的过程中， ∠CGQ 的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，求出 ∠CGQ 的大小.
3.如图（1），大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 a2+2ab+b2 .同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 .把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1） 用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ________ ；
（2） 如图（3）， Rt△ABC 中， ∠C=90° ， CA=3 ， CB=4 ， CH 是斜边 AB 边上的高.用上述“面积法”求 CH 的长；
（3） 如图（4），等腰 △ABC 中， AB=AC ，点O为底边 BC 上任意一点， OM⊥AB ， ON⊥AC ， CH⊥AB ，垂足分别为点M，N，H，连接 AO ，用上述“面积法”，求证： OM+ON=CH .
4.已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．
（1） 点D、E分别在线段BA、BC上；
①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，求∠APD的度数；
②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数；
（2） 如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：BD＝CE．
5.如图，一条船上午6时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午8时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得 ∠NAC=30° ， ∠NBC=60° ．

（1） 求海岛B到灯塔C的距离；
（2） 若这条船继续向正北航行，问上午几时小船与灯塔C的距离最短？
五、解答题
1.证明此命题为伪命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
2.问题：如图1，在等边 △ABC内部有一点P，已知 PA=3 ， PB=4 ， PC=5 ． 求 ∠APB的度数？
（1） 请写出常见四组勾股数：______、______、______、______．
（2） 解决方法：通过观察发现 PA、 PB ， PC的长度符合勾股数，但由于 PA ， PB、 PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将 △ABP绕A逆时针旋转 60°到 △AP'C ， 此时 △ABP≌△ACP' ， 这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出 ∠APB=______．
（3） 应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题：如图2，在 △ABC中， ∠CAB=90° ， AB=AC ， E，F为 BC的点，且 ∠EAF=45° ， 若 BE=m ， FC=n ， 请求出线段 EF的长度（用m、n的代数式表示）；
3.已知： AD为△ ABC的中线，分别以 AB和 AC为一边在△ ABC的外部作等腰三角形 ABE和等腰三角形 ACF ， 且 AE＝ AB ， AF＝ AC ， 连接 EF ， ∠ EAF+∠ BAC＝180°．
（1） 如图1，若∠ ABE＝65°，∠ ACF＝75°，求∠ BAC的度数．
（2） 如图1，求证： EF＝2 AD ．
（3） 如图2，设 EF交 AB于点 G ， 交 AC于点 R ， FC与 EB交于点 M ， 若点 G为 EF中点，且∠ BAE＝60°，请探究∠ GAF和∠ CAF的数量关系，并证明你的结论．
4.货轮在海上以每小时6海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测得灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离.
六、阅读理解
1.阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 ， 试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC是直角三角形
问：
（1） 上述解题过程，从哪一步开始出现不符合题意？请写出该步的代号： ________ ；
（2） 错误的原因为： ________ ；
（3） 本题正确的结论为： ________ ．
2.请阅读下列材料：
已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：
（1） 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；
（2） 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
（3） 已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．
3.请阅读材料并填空：
如图1，在等边三角形 ABC内有一点 P ， 且 PA=2 ， PB=3 ， PC=1 ， 求 ∠BPC的度数和等边三角形 ABC的边长．
李明同学的思路是：
将 △BPC绕点 B逆时针旋转 60° ， 画出旋转后的图形（如图 2) ， 连接 PP' ．
（1） 根据李明同学的思路，进一步思考后可求得 ∠BPC= ° ， 等边 △ABC的边长为 ．
（2） 请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：
如图3，在正方形 ABCD内有一点 P ， 且 PA=5 ， BP=2 ， PC=1 ． 求 ∠BPC度数和正方形 ABCD的边长．
（3） 【实际应用】图4所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口， ∠A=75° ， AB=22km ， AC=4km ， 工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离最小，则 PA+PB+PC的最小值是 km ．