初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）因式分解练习

这是一份初中数学沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）因式分解练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，综合题，解答题，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
1.现有纸片：1张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，3张宽为a、长为b的长方形，用这6张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为（ ）
A . a+b B . a+2b C . 2a+b D . 无法确定
2.能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（ ）
A . xy﹣2x+3y﹣6
B . xy﹣3y+2x﹣y
C . ﹣6+2y﹣3x+xy
D . ﹣6+2x﹣3y+xy
3.下列变形属于因式分解的是（ ）
A .2a−b=2a−b
B .x2−2x+2=x−12+1
C .a−22=a2−4a+4
D .x2−9=x+3x−3
4.下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ）
A . x2+1 B . x2+2x﹣1 C . x2+3x+9 D .x2−x+14
5.a 4b﹣6a 3b+9a 2b分解因式得正确结果为（ ）
A . a2b（a2﹣6a+9）
B . a2b（a﹣3）（a+3）
C . b（a2﹣3）2
D . a2b（a﹣3）2
6.已知a﹣b＝b﹣c＝2，a 2+b 2+c 2＝11，则ab+bc+ac＝（ ）
A . ﹣22 B . ﹣1 C . 7 D . 11
7.若实数a，b满足a+b=4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ）
A . 2 B . 4 C . 8 D . 16
8.下列各式不是多项式x 3-x的因式的是（ ）
A . x B . 3x-1 C . x-1 D . x+1
9.下列运算或变形正确的是（ ）
A . ﹣2a+2b=﹣2（a+b）
B . a2﹣2a+4=（a﹣2）2
C . （2a2）3=6a6
D . 3a2•2a3=6a5
10.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A .16x2y3=2xy2⋅8xy
B .x+yx−y=x2−y2
C .x2−xy+y2=x−y2+xy
D .2x−2y=2x−y
二、填空题
1.如果a+b＝10，ab＝19，则a 2b+ab 2的值为 ________ ．
2.将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）分解因式，应提取的公因式是 ________ ．
3.填空：
多项式 4x−2y 应提取的公因式是 ________ .
多项式 x2+xy−xz 应提取的公因式是 ________ .
多项式 3mx−6nx2 应提取的公因式是 ________ .
4.有三块草坪、面积分别为 a+b2 ， aa+b ， ba+b平方米，则这三块草坪的总面积为 ________ （请用因式分解的结果填空）平方米．
5.配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成 a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为 5=12+22 ， 所以5是“完美数” .已知34是“完美数”，请将它写成 a2+b2（a，b为整数）的形式 ________ ；若 S=x2+9y2+2x−12y+k(x,y是整数，k是常数 ) ， 且为“完美数”，则 k= ________ ．
6.分解因式a²-2a= ________ 。
三、计算题
1.【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
①已知 x2+y2−2x+4y+5=0 ， 求 x+y的值．
解：原方程可化为x2−2x+1+y2+4y+4=0
即(x−1)2+(y+2)2=0
∵ (x−1)2≥0 ，(y+2)2≥0
∴ x=1 ，y=−2
∴x+y=-1
②求 a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8
＝ a2+6a+9−1＝(a+3)2−1 ，
∵ (a+3)2≥0 ，
∴ (a+3)2−1≥-1 ，
即 a2+6a+8的最小值为 −1 ．
请根据上述材料解决下列问题：
（1） 在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式： a2+4a+________．
（2） 用配方法因式分解： a2−6a+8 ．
（3） 求 −x2+4x+5的最大值．
2.x3− 10x2+25x
3.按要求作答．
（1） 计算： −12024−1−2+12−1×(π−3.14)0−83 ．
（2） 计算： 5m(m−1)−(3m−1)(3m+1)+(2m−1)2 ．
（3） 分解因式： x2(a−b)+9y2(b−a) ．
（4） 解分式方程： x−2x+2−16x2−4=1 ．
四、综合题
1.定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“湘一数”.将一个“湘一数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个两位数与原两位数的和与11的商记为 f(a) .例如：a=23，对调个位数字与十位数字得到新两位数32，新两位数与原两位数的和为23+32=55，和与11的商为55÷11=5，所以 f(23)=5 .
根据以上定义，回答下列问题：
（1） 填空：①下列两位数：50、42，33中，“湘一数”为 ________ ；②计算： f(45)= ________ .
（2） 如果一个“湘一数”b的十位数字是k，个位数字是 2(k+1) ，且 f(b)=8 ，请求出“湘一数”b；
（3） 如果一个“湘一数”c，满足 c−5f(c)>30 ，求满足条件的c的值.
2.观察下列分解因式的过程：x 2＋2xy－3y 2
解：原式＝x2＋2xy＋y2－y2－3y2
＝(x2＋2xy＋y2)－4y2
＝(x＋y)2－(2y)2
＝(x＋y＋2y)(x＋y－2y)
＝(x＋3y)(x－y)
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法.
（1） 请你运用上述配方法分解因式：x 2＋4xy－5y 2
（2） 代数式x 2＋2x＋y 2－6y＋15是否存在最小值？如果存在，请求出当x、y分别是多少时，此代数式存在最小值，最小值是多少？如果不存在，请说明理由.
（3） 求-x 2 -8x+15的最大值，并写出相应的x的值.
3.已知：多项式A=b³-2ab.
（1） 请将A进行因式分解；
（2） 若A=0且a≠0，b≠0，求 （a−1）2+b2−1ab2 的值
五、解答题
1.小颖和小红在化简 (1x+2+1x−2)⋅x2−4x2的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式=[x−2(x+2)(x−2)+x+2(x+2)(x−2)]⋅x2−4x2
…
小红：原式=1x+2⋅x2−4x2+1x−2⋅x2−4x2
…
（1） 小颖解法的依据是 ________ ，小红解法的依据是 ________ ．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2） 请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“ −2 ， 1 ， 2”中选一个合适的数作为 x的值，代入求该分式的值．
2.仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式 x2−4x+m有一个因式是 x+3 ， 求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为 x+n ， 得
x2−4x+m=x+3x+n
则x2−4x+m=x2+n+3x+3n
∴n+3=−4m=3n
解得： n=−7 ，m=−21
∴另一个因式为 x−7 ， m的值为-21．
问题：
（1） 已知二次三项式 x2+6x+a有一个因式是 x+5 ， 求另一个因式以及a的值；
（2） 已知二次三项式 6x2−x−p有一个因式是 2x+3 ， 求另一个因式以及p的值．
3.计算：
（1）23﹣（ 12）0﹣（ 12）﹣2；
（2）17×3.14+61×3.14+22×3.14+798×802．
4.下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
任务：
（1） 小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________．
（2） 请你用“换元法”对多项式 x2−4x+3x2−4x+5+1进行因式分解
（3） 由平方的非负性可知 x2+6xx2+6x+18+85有最小值，请求出最小值．
5.已知：（2x﹣y﹣1） 2+ xy-2=0，
（1）求 y-2xxy的值；
（2）求4x3y﹣4x2y2+xy3的值．
六、阅读理解
1.认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
1+x+x1+x+x1+x2
=1+x1+x+x1+x
=1+x21+x
=(1+x)3.
（1） 上述因式分解的方法是 .
（2） 分解因式：1+x+x1+x+x1+x2+x1+x3
（3） 猜想 1+x+x1+x+x1+x2+⋯+x1+xn分解因式的结果.
2.阅读理解.
观察下列因式分解的过程：
⑴x2-xy+4x-4y.
原式：=(x2-xy)+(4x-4y)=x(x-y)+4(x-y)=(x-y) ·(x+4).
⑵a2-b2-c2+2bc.
原式 =a2-b2+c2-2bc=a2-b-c2=a+b-c(a-b+c).
第(1)题分组后能直接提公因式，第(2)题分组后能直接运用公式.仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式：
（1）a2-ab+ac-bc.
（2）x2-4y2-z2+4yz.
在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式 x2−2x−1x2−2x+3+4进行因式分解的过程．
解：设 x2−2x=y ．
原式=y−1y+3+4
=y2+2y+1
=y+12
=x2−2x+12