浙江省杭州高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前务必将自己的学校班级姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方．
3．答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题
卷上答题一律无效．
4．考试结束后，上交答题卡．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．
1. 设集合 ,则集合 中元素的个数是
A. B. C. D.
2. 设 ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的
A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，则函数 的最小值是（ ）
A. B. C. 3 D. 2
5. 已知等比数列 是递增数列，其前 n 项和为 ， ， ，则 （ ）
A. 3 B. C. 4 D. 或 4
6. 如图，在四棱锥 中，已知 底面 ，且
，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
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A B. C. D.
7. 设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 m 的最大值是
A. B. C. 2e D. e
8. 如图，已知半椭圆 与半椭圆 组成的曲线称为“果圆”，其
中 .“果圆”与 轴的交点分别为 ，与 轴的交点分别为 ，点 为半椭
圆 上一点（不与 重合），若存在 ，则半椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知事件 A，B，且 ，则（ ）
A. 如果 ，那么
B. 如果 ，那么
C 如果 A 与 B 相互独立，那么
D. 如果 A 与 B 相互独立，那么
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10. 已知拋物线 ，点 均在抛物线 上，点 ，则（ ）
A. 直线 的斜率可能为
B. 线段 长度的最小值为
C. 若 三点共线，则存在唯一的点 ，使得点 为线段 的中点
D. 若 三点共线，则存在两个不同的点 ，使得点 为线段 的中点
11. 已知函数 的定义域均为 为 的导函数，若 为偶函数，且
，则以下命题正确的是（ ）
A. B. 关于直线 对称
C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知平面向量 为单位向量，若 ，则 ___________．
13. 设数列 满足 ，且 ，则数列 的前 10 项和为______．
14. 已知 为抛物线 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于不同的两点 和 ，抛物线 在
， 两点处的切线交于点 ，则 的最小值为___________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤．
15. 记 是内角 的对边分别为 ，已知 ，点 在边 上，
．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 ，求 的面积．
16. 已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，且
（1）求 的值；
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（2）设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围．
17. 如图，在正四棱台 中， ，N 为棱 ， 的中点，点
在棱 上，且满足 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）当正四棱台 的体积最大时，求 与平面 所成角的正弦值．
18. 如图，在平面直角坐标系 中， 、 分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆
于 ， 两点，其中点 在第一象限，过 作 轴的垂线，垂足为 ，设直线 的斜率为 ．
（1）若直线 平分线段 ，求 的值；
（2）求 面积 的最大值，并指出对应的点 的坐标；
（3）对任意的 ，过点 作 的垂线交椭圆于 ，求证： ， ， 三点共线．
19. 已知函数 ， .
（1）若函数 依次 处取到极值.
①求 的取值范围；
②若 ，求 的值.
（2）若存在实数 ，使对任意的 ，不等式 恒成立.求正整数 的最大值.
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