浙江省杭州市第二中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学（B卷）试题（Word版附解析）

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命题：贺晟 校对：陈炜 审核：王彩娟
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题，本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．
1. 4 与 9 的等比中项为（ ）
A. 6 B. C. D. 6.5
2. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
A B.
C. D.
3. 已知圆 与圆 ，则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内含
4. 在正方体 中， 分别为 和 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦
值是（ ）
A. 0 B. C. D.
5. 已知直线 与椭圆 有公共点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设等差数列 前 项和为 ，已知 ． ，则等差数列 的公差为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
7. 若直线 与 交于 两点，则 的最小值为（ ）
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A. B. C. D.
8. 已知数列 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A. 420 B. 380 C. 342 D. 6
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若空间向量 、 、 ，满足 ， ，则
B. 若直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
C. 点 关于平面 对称的点的坐标是
D. 若 、 是两个单位向量，则
10. 已知等差数列 的前 项和为 ，正项等比数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 不可能是等差数列 B. 若 ，则
C. 是等差数列 D. 若 单调递减，则 单调递增
11. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 、 两点，下列说法正确
的是（ ）
A. 抛物线 准线为
B. 若直线 过点 ，则
C. 抛物线 上到直线 距离为 的点共有 个
D. 周长大于
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 在等比数列 中，已知 ， ，则公比 ______．
13. 点 是直线 上一点， 是直线 的一个方向向量，则点 到直线 的距离是
______．
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14. 已知 是双曲线 的右焦点，直线 与双曲线 交于 两点， 为
坐标原点， 分别为 的中点，且 ，则双曲线 的离心率为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知圆 ．
（1）求 的取值范围；
（2）若 ，过 作圆 的切线，求切线的方程．
16. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，且
．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18. 已知椭圆 ， 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 上任意一点．若
的周长为 ，且 的最小值为 ．
（1）求 的方程；
（2）设点 ，过 的直线 与椭圆 交于 、 两点，记直线 、 的斜率分别为 、 ，求
的取值范围．
19. 若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列”．已知数列 中， ，点
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在函数 图象上，其中 n 为正整数．
（1）证明：数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列；
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，且
恒成立，求 的最大值．
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