浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.
1. 函数的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
2. 设函数，则“”是“为偶函数”的（ ）
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）

A. B. C. D.
4. 《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（ ）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）
A. 4B. 5C. 6D. 7
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. 12D. 13
8. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，，，且，其中，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确是（ ）
A. 设是第一象限角，则为第一或第三象限角
B.
C. 在中，若点满足，则是的重心
D.
10. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列命题中正确的是（ ）
A. 函数的值域为B. 函数的值域为
C. 函数是周期函数D. 函数是减函数
11. 已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列正确的是（ ）
A. 图象的对称中心为
B. 在上的值域为
C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象
D. 上单调递减
12. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）
A. B. 最大值为
C. 最大值为9D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数的定义域为_____________．
14. 若，，，则，，三数中最小数为_________.
15. 在解析几何中，设，为直线上的两个不同的点，则我们把及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，把与直线垂直的向量称为直线的法向量，常用表示，此时.若点，则可以把在法向量上的投影向量的模叫做点到直线的距离.现已知平面直角坐标系中，，，，则点到直线的距离为__________.
16. 对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的坐标为，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
18. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.
（1）设，，求的值；
（2）若，求的大小.
19. 在中，内角，，的对边分别为，，，且向量，，.
（1）求角的大小；
（2）若，的周长为，面积为，求的最大值.
20. 如图所示，有一条“”形河道，其中上方河道宽，右侧河道宽，河道均足够长.现过点修建一条栈道，开辟出直角三角形区域（图中）养殖观赏鱼，且.点在线段上，且.线段将养殖区域分为两部分，其中上方养殖金鱼，下方养殖锦鲤.
（1）养殖区域面积最小时，求值，并求出最小面积；
（2）若游客可以在栈道上投喂金鱼，在河岸与栈道上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求的取值范围.
21. 设，函数，.
（1）讨论函数的零点个数；