浙江省杭州高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题（含答案解析）

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这是一份浙江省杭州高级中学2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试题（含答案解析），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1. 设集合,则集合中元素的个数是
2. 设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的
3. 下列区间中，函数单调递增的区间是（）
4. 已知，则函数的最小值是（）
5. 已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（）
6. 如图，在四棱锥中，已知底面，且，则该四棱锥外接球的表面积为（）
7. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则m的最大值是
8. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为（）
二、多选题
9. 已知事件A，B，且，则（）
10. 已知拋物线，点均在抛物线上，点，则（）
11. 已知函数的定义域均为为的导函数，若为偶函数，且，则以下命题正确的是（）
三、填空题
12. 已知平面向量为单位向量，若，则___________．
13. 设数列满足，且，则数列的前10项和为______．
14. 已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在，两点处的切线交于点，则的最小值为___________．
四、解答题
15. 记是内角的对边分别为，已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，且，求的面积．
16. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，且
(1)求的值；
(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围．
17. 如图，在正四棱台中，，N为棱，的中点，点在棱上，且满足．

(1)求证：平面；
(2)当正四棱台的体积最大时，求与平面所成角的正弦值．
18. 如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，设直线的斜率为．
(1)若直线平分线段，求的值；
(2)求面积的最大值，并指出对应的点的坐标；
(3)对任意的，过点作的垂线交椭圆于，求证：，，三点共线．
19. 已知函数，.
(1)若函数依次在处取到极值.
①求的取值范围；
②若，求的值.
(2)若存在实数，使对任意的，不等式恒成立.求正整数的最大值.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．3
D．2
A．3
B．
C．4
D．或4
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2e
D．e
A．
B．
C．
D．
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果A与B相互独立，那么
D．如果A与B相互独立，那么
A．直线的斜率可能为
B．线段长度的最小值为
C．若三点共线，则存在唯一的点，使得点为线段的中点
D．若三点共线，则存在两个不同的点，使得点为线段的中点
A．
B．关于直线对称
C．
D．