初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 三角形的中位数优质第2课时学案

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册（2024）2 三角形的中位数优质第2课时学案，共6页。学案主要包含了素养目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 利用四边形对角线的性质判定平行四边形
【素养目标】
1.通过探究“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法，培养学生的类比归纳能力，提高认知水平，从而促进数学观点的形成和发展．
2.通过学习平行四边形性质与判定的综合运用，锻炼学生的应用能力，更好地进行知识建构，培养数学应用意识，发散数学思维．
重点：掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法．
难点：综合运用平行四边形的性质与判定解决问题．
【复习导入】
【合作探究】
探究点: 平行四边形的判定定理 3
将两根木条 AC,BD 的中点重叠,并用钉子固定,再用一根橡皮筋绕端点 A,B,C,D 围成一个四边形 ABCD.
想一想:△AOB≌△COD 吗？四边形 ABCD 的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
猜想： .
已知：四边形 ABCD 的两条对角线，AC 与 BD 相交于点 O ，
并且 OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
[知识要点]
平行四边形判定定理 3
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言：
∵ AO = CO，BO = DO，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
[典例精析]
例1 已知：如图，E，F 是□ ABCD 对角线 AC 上的两点，且 AE = CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
[练一练]
1. 如图，四边形 ABCD 的对角线交于点 O，下列哪组条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形（ ）
A．OA = OC，OB = OD
B．AB = CD，AO = CO
C．AB = CD，AD = BC
D．∠BAD =∠BCD，AB∥CD
2. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．
求证： 四边形 AFBE 是平行四边形．
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E 是 BC 的中点，直线 AE 交 DC 的延长线于点 F．试判断四边形 ABFC 的形状，并证明你的结论．
4. 昨天小明同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片，只剩下如图所示部分，他想买一块玻璃赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来? 然后带上图纸去就行了，可原来的平行四边形怎么给它画出来呢( A，B，C 为三顶点，即找出第四个顶点 D )？
当堂反馈
1.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是( )
A.对角线互相平分
B.一组对角相等
C.一组对边相等
D.对角线互相垂直
2.四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A.OA＝OC，OB＝OD
B.∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
C.AD∥BC，AD＝BC
D.AB＝CD，AO＝CO
3.若O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝14 cm，
则当OA＝ cm时，四边形ABCD是平行四边形.
4.如图，在直角坐标系中，有点A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)，另在x轴下方有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，则点D的坐标是 .
5.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形.
书写通关
证明：∵AB∥CD，
∴ ＝∠CDO.
在△ABO和△CDO中，
，∠AOB＝∠COD，AO＝CO，
∴△ABO≌△CDO( ).
∴ .
又∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
6.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且O为AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD是平行四边形.
参考答案
【合作探究】
探究点: 平行四边形的判定定理 3
求证：
证明：∵ OA = OC，OB = OD ，∠AOB =∠COD ，
∴△AOD≌△COB.
∴AD = CB，∠ADO =∠CBO.
∴ AD∥CB.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
[典例精析]
例1 证明：如图，连接 BD ，交 AC 于点 O.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD(平行四边形对角线互相平分).
∵ AE = CF，
∴ OA－AE = OC－CF，即 OE = OF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
[练一练]
1. B
2. 证明： ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD (AAS).
∴ CO＝DO.
∵ E、F 分别是 OC、OD 的中点，
∴ EO＝FO. 又∵AO＝BO，
∴ 四边形 AFBE 是平行四边形．
3. 解：四边形 ABFC 是平行四边形. 证明如下：
∵ AB∥CD，∴∠BAE =∠CFE.
又∵ E 是 BC 的中点，∴ BE = CE.
∴△ABE≌△FCE.
∴ AE = EF. 又∵ BE = CE，
∴ 四边形 ABFC 是平行四边形．
4. 方法一： 方法二：
方法三：
方法一依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
方法二依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
方法三依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
当堂反馈
1.A
2.D
3. 7
4. (0，－1)
5. ∠ABO ∠ABO＝∠CDO AAS OB＝OD
6.证明：∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∵DF∥BE，
∴∠E＝∠F.在△BOE和△DOF中，∠E＝∠F，OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF(ASA).
∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
判定
文字语言
符号语言
定理1
定理2