陕西渭南市华阴市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（试卷+解析）

这是一份陕西渭南市华阴市2025-2026学年高二第一学期期末教学质量检测数学试题（试卷+解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分 时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A. B. -1C. D. 1
2. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A 3B. C. 1D.
4. 圆与圆公共弦所在直线的方程为 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 49B. 63C. 84D. 105
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A B. 8C. -4D. 4
7. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
8. 已知为坐标原点，，点在曲线：上，则面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. 的最大值为D.
10. 若函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 有且仅有两个极值点
C. 只有一个零点D. 当时，的值域为
11. 已知抛物线上三点，为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线准线方程
B.
C. 若三点共线，则
D. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别是，是该椭圆上一点，则_______________.
13. 如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________.
14. 设函数 ，则满足的的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线与直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求直线与之间的距离.
16. 已知椭圆的离心率为是椭圆的右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点，求．
17. 如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 已知数列的前项和为，且，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若区间，求实数的取值范围.
2025~2026学年度第一学期期末教学质量检测
高二数学试题
满分150分 时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是定义在上的可导函数，若，则（ ）
A. B. -1C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数的定义求解即可.
【详解】由导数的定义可得.
故选：C.
2. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆与轴相切求得半径，根据圆的标准方程即可得到答案.
【详解】圆心到轴的距离，
由题意知，圆的半径，
所以与轴相切的圆的方程为.
故选：B.
3. 已知直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ）
A. 3B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明列式求解.
【详解】直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，
由直线平面，得，则，即，所以.
故选：C
4. 圆与圆的公共弦所在直线的方程为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由两圆的一般式作差，即可得到两圆公共弦所在的直线方程.
【详解】已知圆与圆，
由两圆的一般式作差可得：，
所以两圆公共弦所在直线的方程为.
故选：B
5. 已知等比数列前n项和为，若，，则（ ）
A. 49B. 63C. 84D. 105
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解.
【详解】由题意可知，成等比数列，
所以，解得.
故选：A
6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A. B. 8C. -4D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以
.
故选：C.
7. 若圆：上有且仅有个点到直线：的距离为，则实数的值是（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心到直线的距离为求解即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
由圆上有且仅有个点到直线的距离为，得圆心到直线的距离为，
则，解得或.
故选：D.
8. 已知为坐标原点，，点在曲线：上，则的面积（ ）
A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值
C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线上的点，结合三角形面积求法，数形结合分析判断的面积最值情况.
【详解】的渐近线方程为，点，在渐近线上，如下图，
当点在点处时，点到渐近线的距离取得最大值，
当点远离轴时，点到渐近线的距离趋于0，
所以面积有最大值，但无最小值.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. 的最大值为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据等差数列的性质得出，从而可判断数列的单调性，再结合等差数列的前项和公式判断各选项．
【详解】是等差数列，则，又，∴，
所以，是递减数列，
从而中最大，，
故选：AC．
10. 若函数，则（ ）
A. 在上单调递减B. 有且仅有两个极值点
C. 只有一个零点D. 当时，的值域为
【答案】ABC
【解析】
【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值、零点与最值，即可判断.
【详解】函数，求导得
选项A：由，解得，所以在上单调递减，故A正确；
选项B：由，解得或，在和上单调递增，
令，解得或，
所以有且仅有两个极值点，故B正确；
选项C：由于的极大值，极小值
又，
所以只有一个零点，故C正确；
选项D：当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，
所以当时，的值域为，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知抛物线上三点，为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A. 抛物线准线方程为
B.
C. 若三点共线，则
D. 若，则线段的中点到轴距离的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】将点的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用焦半径公式判断B；由三点共线及斜率性质可得，再利用抛物线方程计算可判断C；利用及焦半径公式即可判断D.
【详解】由在抛物线上，则有，即，故抛物线方程为；
对A：由抛物线方程为，则准线方程为，故A正确；
对B：由抛物线方程为，则，
，当时，，所以，故B正确；
对C：若三点共线，则，
即有，故，
整理得，即，则或，
若，由，可得，故；
若，则；
综上可得：，故C错误；
对D：设的中点为，则，
又，则，故，
则，故，即的中点到轴距离的最小值为，故D正确.

故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的左、右焦点分别是，是该椭圆上一点，则_______________.
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆定义即可得解.
【详解】由椭圆方程可得，即，
由椭圆定义可得.
故答案为：.
13. 如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________.
【答案】##
【解析】
【分析】由线面垂直得到面面垂直，再利用二面角的定义得到即为所求角，解三角形即可求解.
【详解】因为平面，又平面，所以平面平面，
平面平面，又，所以平面，
又平面，所以，
则即为平面与平面所成的角，
在中，，所以.
故答案为：
14. 设函数 ，则满足的的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性与单调性解不等式.
【详解】由题意得，，所以，
在上单调递增.
又，所以为上单调递增的奇函数.
则可化为，
又在上单调递增，所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线与直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求直线与之间的距离.
【答案】（1）0或7 （2）
【解析】
【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可.
（2）先利用直线平行求出，然后代入平行直线距离公式求解即可.
【小问1详解】
由题意知，直线与的斜率分别为：，
若，则，
即，解得：或，
故实数的值为0或7；
【小问2详解】
由（1）知直线与的斜率分别为：，
若，则，即，解得：，
此时，直线的方程为，直线的方程为，
将两直线方程分别化为和，
∴直线与之间的距离.
16. 已知椭圆的离心率为是椭圆的右顶点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆离心率以及顶点坐标即可得关于的方程，求解即可；
（2）求出直线l的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，可得.
【小问1详解】
由椭圆的右顶点可得，又，所以，
所以，
所以椭圆的方程为；
【小问2详解】
因为直线过点且倾斜角为，所以直线的方程为
由 得，
设，则，
由弦长公式得．
17. 如图，长方体中，，，分别为的中点，在线段上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量法计算线面角即可．
【小问1详解】
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，
∴，
设是平面的法向量，
则，令，则，
∴是平面的一个法向量，
易知，∴也是平面一个法向量，
∴平面；
【小问2详解】
由（1）中建立的空间直角坐标系，可得，
设平面的法向量为，
则，令，则，
∴是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
18. 已知数列的前项和为，且，．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若对恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见详解；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据已知配成完全平方即可得证；
（2）利用错位相减法求解可得；
（3）分离参数，转化为求数列的最大值问题，考察数列单调性即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，即，
所以，又，所以是以2为首项和公比的等比数列.
【小问2详解】
又（1）可得，，
所以①，
则②，
由①-②得：，
所以
【小问3详解】
由（1）可得，，
所以，即，
记，
因为，
所以时，，即，
当时，，即，
所以，所以，
所以实数取值范围为.
19. 已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若区间，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求出,利用导数的几何意义，结合直线点斜式方程即可求解；
（2）求出，分和两种情况讨论单调性即可；
（3）由，得，结合(2)可得上单调递减，在上单调递增，
分和两种情况讨论的最小值即可求解.
【小问1详解】
当时，，
则，
则，
故曲线在点处的切线方程为；
【小问2详解】
，
①若，则的定义域为，有恒成立，
则当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减；
②若，则的定义域为，有恒成立，
则当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
由，得，故的定义域为，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在上单调递减，在上单调递增，
有，
解得或（舍去），即；
若，即时，在上单调递增，
只需，即，
由，得，故无解；
故实数的取值范围为.