2021-2022学年陕西省渭南市华阴市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市华阴市高二上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．在等差数列中，若，，则（    ）

A．14 B．15 C．16 D．8

【答案】C

【分析】根据等差数列性质可知，若则，即可计算出结果.

【详解】由题意可知，在等差数列中，

由等差数列性质可知，若则；

所以

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案.

【详解】命题“，”的否定是：对，.

故选：B

3．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，，则解此三角形的结果有（    ）

A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解

【答案】C

【分析】根据题意作出图形，推得，从而得到圆与射线有两个交点，进而得到满足题意的三角形有两个，由此得解.

【详解】依题意，作出，，落在射线上，过作于，如图，

则在中，由正弦定理，得，

因为，所以，

故以为圆心，半径为的圆与射线相交，即有两个交点，

显然，这个两交点都可以作为点，与构造，且，

所以满足题意的三角形有两个，即解此三角形的结果有两解.

故选：C.

.

4．若，则下列不等式成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法进行判断即可.

【详解】选项A：由，所以，因此本选项不正确；

选项B：若，，显然，因此本选项不正确；

选项C：若，，显然，因此本选项不正确；

选项D：，因为，所以，因此有，所以本选项正确，

故选：D

5．给出下列四个命题，其中正确的有

（1）若空间向量，满足，则；

（2）空间任意两个单位向量必相等；

（3）对于非零向量，由，则；

（4）在向量的数量积运算中．

A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

【答案】A

【分析】根据向量相等的定义，单位向量的定义，以及向量的模的定义，逐个选项进行判断即可.

【详解】对于（1），取，，此时，，

但是，故（1）为假命题；

对于（2），取单位向量和，

此时，故（2）为假命题；

对于（3），若空间向量 取，，

取为零向量，此时，满足，但是 ，故（3）为假命题；

对于（4），取，，，

则，，所以，

故（4）为假命题.

故选：A.

6．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．7 B．9 C．81 D．3

【答案】D

【分析】根据等比数列的性质以及对数的运算性质可求出结果.

【详解】依题意可得，

又，所以，

所以.

故选：D

7．中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在轴上，则它的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设双曲线方程，根据已知得到，即可得到渐近线的方程.

【详解】由已知可设双曲线的标准方程为.

由已知可得，所以，则，所以.

所以，双曲线的渐近线方程为.

故选：D.

8．若二次函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据判别式可求参数的取值范围.

【详解】因为二次函数的图象都在轴下方，

所以，故，

故选：B.

9．数列是等比数列，首项为，公比为，则“”是“数列递增”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由，解得或，根据等比数列的单调性的判定方法，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解得到答案.

【详解】由已知，解得或，，

此时数列不一定是递增数列；

若数列为递增数列，可得或，

所以“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与单调性，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记等比数列的单调性的判定方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

10．命题双曲线的离心率比椭圆的离心率大，命题抛物线是双曲线的一支，则下列命题是真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】首先判断命题、的真假，再利用复合命题的真假表即可得出选项.

【详解】双曲线的离心率，椭圆的离心率，故命题p是真命题．

由抛物线与双曲线的方程，可知抛物线不能被认为是双曲线的一支，故命题q为假命题．

所以，，均为假命题，为真命题．

故选：B

11．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲线中a，b，c的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.

【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，

动圆圆心为，半径为，

当两圆外切时：，所以；

当两圆内切时：，所以；

即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，

所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，

，

所以动圆圆心的轨迹方程为：，

故选：C.

12．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是（    ）

A．10 m B．10m C．10m D．10m

【答案】D

【分析】在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，利用正弦定理求得BC，在Rt△ABC中，根据，即可得出答案.

【详解】解：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，

∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，

由正弦定理，得＝，

BC＝＝10（m）.

在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BC×tan 60°＝10（m）.

故选：D.

二、填空题

13．不等式的解集是_______________．

【答案】或

【解析】将分式不等式，转化为一元二次不等式求解

【详解】因为，

所以，

解得或.

故答案为：或

【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

14．已知抛物线的准线经过椭圆的焦点，则____________．

【答案】

【分析】首先根据抛物线方程求其准线方程，再根据已知准线过椭圆焦点求出焦点坐标，进而求出椭圆中的值，根据的值求即可.

【详解】已知抛物线的方程为，故其准线方程为.

已知准线经过椭圆的焦点，故椭圆的焦点坐标为，

即椭圆的焦点在轴，且，

因此，，得.

故答案为：

15．如图，空间四边形中，，，，且，，则____________．

【答案】

【分析】利用空间向量加减运算与数乘运算的几何表示即可得解.

【详解】如图，因为，，

所以，，

又因为，，，

所以.

故答案为：.

16．已知是数列的前项和，若，则____________．

【答案】

【分析】由与的关系公式，得到是一个等比数列，再求其通项公式.

【详解】由已知，当时，，则；

当时，，两式相减得，，即，

则，所以数列是一个等比数列，首项，公比，

所以.

故答案为：

三、解答题

17．(1)已知，，且，求的最小值；

(2)已知，求函数的最大值．

【答案】(1)4；

(2)1.

【分析】（1）根据基本不等式1的用法求解即可；

（2）由已知可得，则，进而通过变形即可求解结果.

【详解】（1）∵，，，

∴，

当且仅当时等号成立．

所以，的最小值为4.

（2）由可得，

则，

当且仅当，即时等号成立．

所以，

所以函数的最大值为1．

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求的值

（2）若，b＝2，求△ABC的面积S.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据正弦定理＝，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，

根据和角公式、三角形内角和可得答案；

（2）由正弦定理、余弦定理a、c，根据同角三角函数基本关系式可知，再由三角形面积公式可得答案．

【详解】（1）由正弦定理，则＝，

所以＝，

即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，

因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA，

因此.

（2）由＝2，得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，

得4＝a2＋4a2－4a2×，解得a＝1，从而c＝2.

因为cosB＝，所以sinB＝，

因此S＝acsinB＝×1×2×＝.

19．已知等差数列满足，，数列是首项为1、公比为3的等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解首项和公差，

（2）由错位相减法即可求和.

【详解】（1）设数列的公差为，则

解得

∴．

（2）依题意，知数列的通项公式为．

由（1）知，

∴，

，①

①×3得，②

①-②得

，

∴．

20．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设直线：，，；根据抛物线焦半径公式可得；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于的方程，解方程求得结果；（2）设直线：；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用可得，结合韦达定理可求得；根据弦长公式可求得结果.

【详解】（1）设直线方程为：，，

由抛物线焦半径公式可知：    

联立得：

则    

，解得：

直线的方程为：，即：

（2）设，则可设直线方程为：

联立得：

则    

，

        ，    

则

【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.

21．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题：

(1)求证：平面PAD；

(2)求平面AEF与底面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

（2）利用空间向量法求解即可.

【详解】（1）由题知AB，AD，AP两两相互垂直．

以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，，，．

∴，，．

∴，，∴，．

又平面，平面，．

∴平面．

（2）易知平面的一个法向量为，

设平面AEF的法向量为，

∵，，

∴即

取，解得

则平面的一个法向量为．

.

因为平面与平面所成角为锐角，

所以平面与平面所成角的余弦值为.

22．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为、.设是椭圆上一点，满足⊥轴，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求的面积.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据条件列出关于的方程求解；（2）设直线，与椭圆方程联立，，代入根与系数的关系，求三角形的面积.

【详解】（1）由条件可知，解得：，，

所以椭圆的标准方程是；

（2）设直线，，，直线与椭圆方程联立

，得，

，，

.