2024-2025学年陕西省渭南市高二上册期末考试数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年陕西省渭南市高二上册期末考试数学检测试题（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（ ）
A．36种B．72种C．108种D．144种
2．平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A．1B．0C．D．3
3．与圆同圆心，且过的圆的方程是
A．B．
C．D．
4．展开式中项的系数为（ ）
A．28B．C．112D．
5．“直线与直线平行”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段的中点的横坐标为3，则线段的长度为( )
A．6B．8
C．10D．12
7．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，⊥，
∠=，则C的离心率为
A．B．C．D．
8．在四棱锥中，平面，，，，，为的中点，则二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列说法正确的有（ ）
A．直线的斜率越大，则倾斜角越大
B．两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线
C．若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为135°
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为上的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的渐近线方程为
C．△的周长为30
D．点在椭圆上
11．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（ ）
A．是等边三角形B．
C．点到准线的距离为3D．抛物线的方程为
12．已知正方体的棱长为1，H为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．平面与平面的夹角为
C．三棱锥的体积为定值
D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题）
13．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为 ．
14．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是
15．已知标准方程的双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为 ．
16．直线的方向向量为，且过点，则点到的距离为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．（1）求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线方程；
（2）已知圆的圆心在直线上，圆与直线相切，且在直线上截得的弦长为，求圆的方程．
18．（1）若的展开式中共有7项，求常数项；
（2）已知，求的值．
19．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，.（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积.
20．已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，点在物物线内，若抛物线上一动点到两点距离之和的最小值为4．
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)直线过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于两点，求弦的长度．
21．如图，在几何体中，四边形是边长为2的正方形，，，，．
(1)求证：平面平面．
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图，过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于点，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点；
(1)当直线过椭圆右焦点时，求点的坐标；
(2)当点异于点时，求证：为定值．
答案
1．【正确答案】B
【分析】先排3名男生，女生再进行插空，即可得答案；
【详解】不同排法种数为种.
故选：B.
2．【正确答案】A
【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.
【详解】l1、l2的距离为＝1.
故选：A.
本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.
3．【正确答案】B
【详解】试题分析：把原圆的方程写成标准方程为，由于两圆共圆心，可设另一个圆方程为：，把代入所设方程，得：，所以所求的圆的方程为，化简为：，故选B.
考点：1、圆的一般式方程；2、圆的标准方程的.
4．【正确答案】C
【分析】利用二项式展开式的通项公式，要求项，求出r，即可求出系数．
【详解】展开式的通项公式为.
要求项的系数，只需，解得：，
所以.
故选：C.
二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析．
5．【正确答案】C
【分析】根据两直线平行得到或，再利用充分必要条件的定义判断即可.
【详解】当直线与直线平行,
，
解得或，
当，直线和直线重合，舍去，所以.
根据充分条件、必要条件的定义可得，
“直线与直线平行”是“”的充分必要条件
故选：C
6．【正确答案】B
【分析】利用抛物线方程求得，进而利用抛物线上的点到焦点的距离和到准线距离相等的性质表示用两个点的横坐标表示出的长度 ,利用线段的中点的横坐标求得两点撗坐标的和，最后求得结论.
【详解】由抛物线的方程可得，
设，
由中点坐标公式得，
由抛物线定义得.
故选:B.
7．【正确答案】D
【详解】由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝ m，
故离心率e＝选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
8．【正确答案】A
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合二面角是锐角以及法向量夹角余弦的坐标运算公式即可得解.
【详解】过点作交于点，
因为平面，平面，
所以，
又因为，，所以，
所以两两互相垂直，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为，，为的中点，
所以，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，解得，即可取，
显然可取平面的法向量为，且二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
故选：A.
9．【正确答案】BC
【分析】选项A，选取，求解对用倾斜角，可判断；
选项B，由两点式中，分析可判定；
选项C，化简方向向量得到，故，分析可判定；
选项D，分析直线，可判断.
【详解】选项A，当时，对应倾斜角，当时，对应倾斜角，错误；
选项B，由于两点式中，故垂直于x轴和y轴的直线不能用两点式表示，其他直线都能选取两个点满足，可用两点式表示，正确；
选项C，方向向量可化简为，故斜率，故对应倾斜角，正确；
选项D，直线斜率不存在，不能转化为斜截式，错误.
故选：BC
10．【正确答案】BCD
【分析】
由双曲线方程直接求离心率、并写出渐近线方程，即可判断A、B正误；利用双曲线的定义求焦点三角形的周长即可知C的正误；利用椭圆的定义判断是否在椭圆上，判断D的正误.
【详解】
双曲线化为标准形式为，则，，
，故离心率，即A错误；
双曲线的渐近线方程为，即，即B正确；
由双曲线的定义知，，
，则，
△的周长为，即C正确；
对于椭圆，有，，，
，
由椭圆的定义知，点在椭圆上，即D正确，
故选：BCD.
11．【正确答案】ACD
【分析】利用圆的几何性质结合抛物线定义可推出为等边三角形，判断A；确定的边长，根据其面积求得p，即可判断BCD.
【详解】根据题意作图，如图所示:
因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，
又，故，A在抛物线上，所以，
所以为等边三角形，故A正确；
因为，则轴，过作于点，则点为的中点，
点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，
所以，解得，
则，故B错误；
焦点到准线的距离为，故C正确；
抛物线的方程为，故D正确．
故选：ACD．
12．【正确答案】AC
【分析】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误.
【详解】以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则、、、、、、、，
设点，其中.
对于A选项，，，
则，
所以，A选项正确；
对于B选项，设平面的法向量为，，，
由，取，可得，则，
设平面的法向量为，，
由，取，则，则，
可得，
所以，平面与平面的大小不是，B选项错误；
对于C选项，，平面，平面，平面，
到平面的距离等于点到平面的距离，
而点到平面的距离为，即三棱锥的高为，
因此，，C选项正确；
对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，
又，，
所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.
故选：AC.
方法点睛：求空间角的常用方法：
（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
13．【正确答案】24
【分析】根据给定条件，利用相邻问题及有位置要求的元素占位，结合排列列式计算即得.
【详解】把两名女生捆绑在一起视为一人，与两名男生作全排列有种方法，
再把老师插入中间的两个间隙中有种方法，而两名女生的排列有种方法，
所以不同站法的种数为.
故24
14．【正确答案】
【分析】圆心的对称点即为新圆心．
【详解】已知圆圆心为，∴，
∴圆方程为．
圆关于某点或某直线对称，关键是求出圆心的对称点即新圆心坐标，而半径不变．
15．【正确答案】
【分析】根据给定的渐近线方程，设出双曲线方程，利用待定系数法求解即得.
【详解】依题意，标准方程的双曲线的渐近线方程为，
设双曲线方程为，由双曲线过点，得，
所以双曲线的方程为，即.
故
16．【正确答案】
【分析】根据给定条件，利用点到直线距离的向量求法计算即得.
【详解】依题意，，
所以点到的距离.
故
17．【正确答案】（1） ；（2）．
【分析】（1）先求得两条直线和的交点坐标，再利用直线垂直的等价条件以及直线的点斜式方程，即可求得该直线的方程.
（2）设出圆的圆心坐标，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.
【详解】（1）由，解得，而直线的斜率为
则垂直于直线的直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即.
（2）由圆的圆心在直线上，设圆的圆心为，
由圆与直线相切，得圆的半径，
圆心到直线的距离，
由圆在直线上截得的弦长为，得，即，解得，
所以圆的方程为.
18．【正确答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据给定条件，求出值，再借助展开式的通项公式求解即得.
（2）根据给定的展开式，利用赋值法计算即得.
【详解】（1）依题意，，解得，
展开式的通项，
令，得，所以所求常数项为.
（2）令，得，
令，得，
两式相加得.
19．【正确答案】(1)证明见解析；(2).
【详解】试题分析：
(1)由题意结合空间向量数量积的运算法则计算可得，.则，，结合线面垂直的判断定理可得平面，即是平面的法向量.
(2)利用平面向量的坐标计算可得，，，则，，.
试题解析：
（1）∵，
.
∴，，又，∴平面，
∴是平面的法向量.
（2）∵ ，，
∴，
∴，
故， .
20．【正确答案】(1)，；
(2)16.
【分析】（1）设出抛物线方程，由已知结合抛物线定义求解即得.
（2）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义求出弦长.
【详解】（1）依题意，设抛物线的方程为，则焦点，准线方程为，
过点作准线的垂线，垂足为，令抛物线上动点到准线的距离为，
则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号，
因此，解得，
所以抛物线：的焦点，准线方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，
由消去并整理得，，设，
因此，所以.
21．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先利用面面垂直的判定证明平面平面，再利用勾股定理得，从而利用面面垂直的性质定理得到平面，则，最后再利用面面垂直的判定即可.
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用线面角的夹角公式即可得到答案.
【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，．
因为，，，平面，
所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为，，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以．
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
因为平面，所以．
因为，，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）由（1）知，直线，，两两互相垂直，以为坐标原点，直线，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则有得所以．
取，得，所以可取．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
22．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据已知结合离心率，以及关系，即可求得椭圆方程和直线方程，联立方程即可得出结果；
（2）设出直线方程，与椭圆联立得到点坐标，再表示出直线方程，与直线联立即可得到坐标，利用向量的数量积即可得证.
【详解】（1）由题知，，
又，，所以，，
则椭圆方程为，此时为焦点，
所以直线斜率为，所以直线方程为，
联立得：，解得，
代入直线方程，得，
可得点坐标为.
（2）当直线与轴垂直时不符合题意；
因为，，则直线方程：，
设直线方程：，和椭圆联立得：，解得，
代入直线得，则点坐标为，
又，则，
则直线方程为，
和直线联立，解得，
则，
又为与轴交点，则，
所以为定值.
方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.