河南平顶山市宝丰县2025-2026学年第一学期期末评估试卷九年级数学（试卷+解析）

这是一份河南平顶山市宝丰县2025-2026学年第一学期期末评估试卷九年级数学（试卷+解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在中，，，，则的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（ ）
A. B. C. D.
4. 将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
5. 请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
6. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，随的增大而增大
7. 如图，每个小正方形的边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
8. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
9. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 12米
10. 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图像（如图2所示）与y轴交于点，最低点，且经过．则下列选项正确的是（ ）
A. 的面积是B.
C. 点在该函数图像上D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个以轴为对称轴二次函数解析式________．
12. 在中，，若，则_____．
13. 抛物线的图象与轴的交点坐标是_____．
14. 如图，在中，，为中点，点在上，，交于点，，，则的值为_______．
15. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是____．

三、解答题（本题8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
17. 已知二次函数．
（1）直角坐标系中画出该函数图象；
（2）请结合图象，直接写出此函数3个相关的正确结论．
18. 如图，在中，，，．
（1）求和的长；
（2）直接写出点到线段的距离．
19. 二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是 ；
（3）若点，在该函数图象上，且，则的取值范围为 ．
20. 如图，塔前有一座高为的台阶，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为，在D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求台阶的高；
（2）求塔高度（结果精确到米）
21. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，共进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围：
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
22. “青山绿水，生态农业”．某地需引水修建水库，既可蓄水灌溉，又可美化环境．据了解，水库C修建在水源A的正东方向，在水源A的北偏东方向有一古迹B，B与A相距，其中水库C在古迹B的东南方向．（参考数据：，）
（1）若在水源A与水库C之间修建一条水渠，求该水渠的最短长度．
（2）在古迹B的西南方向处有一古墓群E，为了保护文物，不破坏古墓，在古墓群周围范围内不得进行任何土工作业，判断按照（1）中的方式修建水渠是否合理，并说明理由．（结果保留两位小数）
23. 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____；
（2）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图2．已知，设，四边形的面积为．
①求与函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．2025-2026学年第一学期期末评估试卷九年级数学
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图，在中，，，，则的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作．先根据勾股定理求出，再根据正弦的定义计算即可．
【详解】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
则，
故选：D．
2. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据二次函数形式为， 逐一判断即可解答．
【详解】解：A．是一次函数，不符合题意；
B．是二次函数，符合题意；
C．，此函数的次数是，不是二次函数，不符合题意．
D．，最高次为4，不是二次函数，不符合题意．
故选B．
3. 已知α是锐角，，那么锐角α的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：∵ ，且 ，α 是锐角，
∴，
故选：B．
4. 将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】解：将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为．
故选：A．
5. 请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为，
∴最接近的整数是2，
故选：C．
6. 已知二次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为D. 当时，随的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，将二次函数化为顶点形式，根据二次函数的性质判断各选项。
【详解】解：∵ ，
∴ ，抛物线开口向上，A正确；
对称轴为直线 ，B正确；
顶点坐标为 ，C正确；
∵ 开口向上，对称轴 ，
∴ 当 时， 随 的增大而减小，故D错误。
故选D.
7. 如图，每个小正方形边长均为1，苦点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数．
由勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据正切的定义即可解答．
【详解】∵，
，
，
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：D
8. 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值．解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，难度中等．
【详解】解：，
，
当时，取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
9. 某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为8米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 12米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出．
【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图，
由题意知：四边形是矩形，米，，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
解得：米，
故选：C．
10. 通过卫星导航系统可以实时规划路径，如图1，灯塔B位于A地正东方向，C地位于A地的北偏东，4海里处．船只P从A地出发，驶向C地，在行驶过程中，设的长为x，为y，y关于x的函数图像（如图2所示）与y轴交于点，最低点，且经过．则下列选项正确的是（ ）
A. 的面积是B.
C. 点在该函数图像上D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图像的识别，二次函数图像的应用，勾股定理，
先观察图像可得点的实际意义是点P与点A重合时，，可求出，再理解点的含义进而求出三角形的高线，可解答A，B；然后根据求出，即可解答D；最后根据勾股定理说明C 即可．
【详解】解：根据题意可知海里，
观察图像过点，即当时，，
即点P与点A重合时，，
解得；
观察图像过最低点，即当时，，
根据勾股定理得，，
∴点，，
即，
则A，B不正确；
∵当时，，此时，
根据勾股定理，得，
当点P与点C重合时，，
∴点，
则D不正确；
当时，，
根据勾股定理，得，
∴点在该函数图像上．
则C正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴．
【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ，
∵以y轴为对称轴，
∴对称轴为直线，
∴，
∴二次函数解析式应满足，如 （其中），
故答案为：（答案不唯一）．
12. 在中，，若，则_____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，根据，得到，勾股定理得到，再根据正弦的定义进行求解即可．
【详解】解：设直角三角形的三个内角对应的三边为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
13. 抛物线的图象与轴的交点坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点求法．函数图象与轴的交点横坐标为0，将代入函数解析式即可得纵坐标．
【详解】解：令，得，
故与轴的交点坐标是：．
故答案为：．
14. 如图，在中，，为的中点，点在上，，交于点，，，则的值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识．如图，延长到，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，利用勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长到，使得，连接．
，，，
，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是____．

【答案】-7．
【解析】
【分析】x＝﹣1时，y1＝a﹣b+c，当顶点在点B时，y1最小，此时点C（﹣2，0），即可求解．
【详解】解：点C横坐标最小时，顶点在A点，
则函数的表达式为：y=a（x+1）2+2，
此时点C（-2，0），
则函数的表达式为：y=a（x+1）2+2，
将点C的坐标代入上式并解得：a=-2，
当顶点在B处时，a-b+c值最小
则抛物线的表达式为：y=-2（x-1）2+1，
当x=-1时，y1=a-b+c=-7，
故答案为：-7．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，本题关键在于确定a﹣b+c的最小值时，抛物线所在的位置，进而求解．
三、解答题（本题8小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）；
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）把特殊角的三角函数值代入计算即可；
（2）把特殊角的三角函数值代入计算，得到答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 已知二次函数．
（1）在直角坐标系中画出该函数图象；
（2）请结合图象，直接写出此函数3个相关的正确结论．
【答案】（1）图见解析
（2）①抛物线的对称轴为直线；②抛物线与轴的交点坐标为；③抛物线与轴有两个交点；④当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．（答案不唯一，言之有理即可）
【解析】
【分析】本题考查画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是关键．
（1）先列表求出点的坐标，再使用描点法画函数图象即可；
（2）根据二次函数的图象与性质写出结论即可．
【小问1详解】
解：函数图象如图所示；
【小问2详解】
解：由图象可得，①抛物线的对称轴为直线；②抛物线与轴的交点坐标为；③抛物线与轴有两个交点；④当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
18. 如图，在中，，，．
（1）求和的长；
（2）直接写出点到线段的距离．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握锐角三角函数．
（1）过点作于点，利用锐角三角函数以及勾股定理进行求解即可；
（2）利用等面积法进行求解即可．
【小问1详解】
解：过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
【小问2详解】
解：根据等面积可得，点到线段的距离为．
19. 二次函数图象的顶点坐标为，与轴的交点坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是 ；
（3）若点，在该函数图象上，且，则的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数的最值，运用数形结合思想将比大小转化为比距离是解题关键．
（1）顶点坐标已知可设顶点式，将点代入顶点式求出参数即可；
（2）根据二次函数的表达式可判断出图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，由此计算出最大值和最小值；
（3）图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，用绝对值表示两点到对称轴的距离，构造不等式并求解即可．
【小问1详解】
解：由题可知，二次函数图象的顶点坐标为，
∴设二次函数的表达式为，
将点代入，得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵，
∴函数的图象开口向上，
∴离对称轴越近，函数值越小，
∴当时，取得最小值；
∵，
∴当时，取得最大值；
∴的取值范围是；
【小问3详解】
解：∵函数的图象开口向上，
∴离对称轴越近，函数值越小，
又∵，
∴，即，
两边平方，得，
解得．
20. 如图，塔前有一座高为的台阶，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．在C处测得塔顶部B的仰角为，在D处测得塔顶部B的仰角为．
（1）求台阶的高；
（2）求塔的高度（结果精确到米）
【答案】（1）台阶的高为
（2）塔的高度约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）过点D作，垂足为F，根据题意可得，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出BF和AB的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，
在中，，，
∴，，
台阶的高为；
【小问2详解】
解：过点D作，垂足F，
由题意得：，，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴，
，
∴，
解得：，
∴，
塔的高度约为
21. 我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，共进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务，
（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围：
（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）y＝－5x＋2200；300≤x≤350
（2）售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元．
【解析】
【分析】（1）根据题中条件可得y＝－5x＋2200，若销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．
（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w.
【小问1详解】
依题意得：
y＝200＋50×．
化简得：y＝－5x＋2200．
依题意有：
∵，
解得300≤x≤350．
【小问2详解】
由(1)得：w＝(－5x＋2200)(x－200)
＝－5x2＋3200x－440000
＝－5(x－320)2＋72000．
∵x＝320在300≤x≤350内，
∴当x＝320时，w最大为72000．
即售价定为320元/台时，可获得最大利润为72000元．
本题考查了利润率问题的数量关系的运用，一次函数的解析式的运用，二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22. “青山绿水，生态农业”．某地需引水修建水库，既可蓄水灌溉，又可美化环境．据了解，水库C修建在水源A的正东方向，在水源A的北偏东方向有一古迹B，B与A相距，其中水库C在古迹B的东南方向．（参考数据：，）
（1）若在水源A与水库C之间修建一条水渠，求该水渠的最短长度．
（2）在古迹B西南方向处有一古墓群E，为了保护文物，不破坏古墓，在古墓群周围范围内不得进行任何土工作业，判断按照（1）中的方式修建水渠是否合理，并说明理由．（结果保留两位小数）
【答案】（1）该水渠的最短长度约为
（2）合理，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于，在中利用三角函数的知识求出和的长，进而求出的长即可解答；
（2）延长交于点，作于，过点作于点，利用三角函数的知识求出的长即可解答．
【小问1详解】
解：过点作于，
由题意得，，，
在中，，，
，
，
，
根据“两点之间，线段最短”，可知线段的长即为所求，
答：该水渠的最短长度约为；
【小问2详解】
解：按照（1）中方式修建水渠合理，理由如下：
如图，延长交于点，作于，过点作于点，
则，
由题意得，，
在中，，
，
在中，，
，
没有破坏文物的可能，即按照（1）中的方式修建水渠合理．
23. 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____；
（2）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图2．已知，设，四边形的面积为．
①求与的函数表达式，并求出的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），
（2）①，的最小值为18；②的长度为或
【解析】
【分析】（1）由 ，证明，即可得出，；
（2）①由已知得出四边形是正方形，由勾股定理即可得出 ，数形结合即可求解；
②过作于，则是等腰直角三角形，由勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：，．
∵，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴，
∴
∴即．
故答案为：，；
【小问2详解】
①解：如图2，连接交于，由（1）知，，，
∴ ，
∴ ．
∵ ，，
∴ ．
∵ 点F与点C关于对称，
∴ 垂直平分，
∴ ，．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 四边形是正方形，
∴ ，
∴ y与x的函数表达式为．
∵ ，
∴ 当时，y的最小值为18；
②解：如图2，过作于，连接，则是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
由直角三角形的性质，得，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，则．
∵ ，
∴ ，
解得或．
∴的长度为或．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数与几何图形的综合，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．