四川省合江县马街中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

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一．单选题
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．
二．多选题
9． 10． 11．
三．填空题
12． 13． 14．，，
四．解答题
15．解：（1）
，
令，，则，，
故函数的对称轴为，；
（2）因为，，
所以，，即，
所以，则
．
16．解：因为，
所以在区间，上单调减，在区间，上单调增，
且对任意的，都有，
（1）若，则，
在区间，上单调递减，在区间，上单调递增．
“对任意的，，都有”等价于“在区间，上，”．
①当，即时，，
，得，所以；
②当，即时，，恒成立，故．
综上所述，，实数的取值范围为区间，．
（2）设函数在区间，上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，，都有”等价于“”．
①当时，（4），，
由，得，因此；
②当时，（4），，
由，得，因此；
③当时，，，
由，得，因此；
④当时，，（4），
由，得，因此．
综上所述，实数的取值范围为区间，．
17．解：（1）设等差数列的公差为，由，，
可得，解得，所以；
（2）由（1）知，，，所以；
（3）因为，，所以，
①，②，
①②得，所以．
18．解：（1）当时，，定义域为，
则，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取到极小值0，无极大值；
（2）方程，显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有2个交点，则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，（1），
作出函数的图象，如下图所示：
与有2个交点，则，即的取值范围为；
（3）证明：，令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，故只需证，
又，所以只需证，
即证，令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上严格增，
由，可得，即，所以，
又函数在上严格减，所以，即得证．
19．解：（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，，
，
中6个分量中恰有3个1，的元素个数为．
（2）对于的非空子集，，，，
设，，，，，2，，，这里是的第个分量，
定义，2，，，规定，0，，，
设，，，，2，，，令，，，，，，，
我们先证明引理：，2，，，．
反证法：，2，，，，令，
设，，，，满足，其中，2，，，
，，2，，，且，，
，，这与矛盾，引理证毕，
回到原题，由引理，解得，
，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，1，0，0，1，，，0，1，1，0，，符合题意，综上，当时，的最大值为4．
（3）证明：，，，共有个非空子集，记为，，2，，，
则在每分量得奇偶性下恰有2种不同的状态，由知，
由抽屉原理，存在两个不同的，，，的非空子集，，
设（D），，，，
（E），，，，有与奇偶性相同，，2，，，
令，，由于，，
令，，，，则，，，
且都为偶数，，2，，，不妨设，，，，
则为偶数，
而为奇数，故，且为奇数，
故必存在一个，3，，，使得为奇数，又由于，1，，从而．