2024-2025学年四川省泸州市合江县马街中学校高二下学期4月期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市合江县马街中学校高二下学期4月期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x− 3y+2=0的倾斜角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
2.已知函数f(x)=2x+csx，则limΔx→0fπ2+Δx−fπ2Δx=( )
A. 12B. 1C. 2D. 3
3.已知向量m=a, 2, 1, n=2, −1, 1，若m−n⊥n，则a=( )
A. 72B. 4C. 92D. 5
4.已知等比数列an的前n项和为Sn，若公比q=2，S3=7，则a4+a5+a6=( )
A. 49B. 56C. 63D. 112
5.设函数f(x)的导函数为f′(x)，y=f′(x)的部分图象如图所示，则( )
A. 函数f(x)在−12,1上单调递增B. 函数f(x)在(0,4)上单调递增
C. 函数f(x)在x=3处取得极小值D. 函数f(x)在x=0处取得极大值
6.等差数列an中，已知a7>0，a2+a102lna+32．
19.(本小题17分)
人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数φ(n)n∈N∗的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如：φ(1)=1,φ(2)=1,φ(3)=2,φ(4)=2,φ(8)=4,φ(9)=6,φ(27)=18．
(1)求φ(6),φ(10),φ2n的值；
(2)已知数列an满足an=12n⋅φ3n，求an的前n项和Sn；
(3)若数列4Sn−12n−1n∈N∗的前n项和为Tn，对任意n∈N∗，均有λ⋅Tn+32−2n+3≥0恒成立，求实数λ的取值范围．
注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．
参考答案
1.C
2.B
3.A
4.B
5.B
6.B
7.D
8.D
9.BC
10.BC
11.ABD
12.y=2x+1
13.[−2,2]．
14.2547
15.解：(1)f′(x)=3x2+2ax，由题意得f′(−2)=3×4−4a=0f(−2)=−8+4a+b=4，解得a=3,b=0．
此时f(x)=x3+3x2，f′(x)=3x2+6x=3x(x+2)，
当x∈(−∞,−2)时，f′(x)>0，所以f(x)在(−∞,−2)单调递增，
当x∈(−2,0)时，f′(x)0，所以f(x)在(0,+∞)单调递增，
所以f(x)在x=−2时取得极大值．
所以a=3,b=0．
(2)由(1)可知，f(x)在[−3,−2)单调递增，在(−2,0)单调递减，在(0,1]单调递增．
又因为f(−3)=0，f(−2)=4，f(0)=0，f(1)=4，
所以函数f(x)在区间[−3,1]上的最大值为4，，最小值为0．

16.解：(1)当n=1时，S1=2a1+2−6=a1，解得a1=4．
当n≥2时，
有Sn=2an+2n−6，
Sn−1=2an−1+2(n−1)−6，
两式作差可得，an=2an−2an−1+2，
整理可得，an−2=2an−1−2．
又a1−2=2，
所以，数列an−2为首项为2，公比为2的等比数列，
所以，an−2=2×2n−1=2n，
所以，an=2n+2．
(2)由(1)可知，a1=4，a3=10，
所以，b2=3，b6=11．
设bn的公差为d，
则b6−b2=11−3=8=4d，
解得d=2，b1=b2−d=1，
所以，bn=b1+2(n−1)=2n−1．
所以，1bnbn+1=1(2n−1)(2n+1)=1212n−1−12n+1，
所以，数列1bnbn+1的前n项和
Tn=1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1=121−13+1213−15+⋯+1212n−1−12n+1=121−12n+1=n2n+1．

17.解：(1)在四棱锥P−ABCD中，
由PD=AD=1，CD=2，PC= 5，PA= 2，
得PD2+CD2=PC2，PD2+AD2=PA2，
则CD⊥PD，AD⊥PD，
又CD∩AD=D，且CD，AD⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD．
(2)由(1)知DA,DC,DP两两垂直，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图：
则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,0,1),C(0,2,0)，
可得DP=(0,0,1)，DB=(1,1,0)，PC=(0,2,−1)，
设PQ=λPC=(0,2λ,−λ)(0≤λ≤1)，则DQ=DP+PQ=(0,2λ,1−λ)，
设平面BDQ的法向量n1=(x1,y1,z1)，
则DB⋅n1=x1+y1=0DQ⋅n1=2λy1+(1−λ)z1=0，令y1=λ−1，得n1=(1−λ,λ−1,2λ)，
设平面BDP的法向量为n2=(x2,y2,z2)，
由DB⋅n2=x2+y2=0DP⋅n2=z2=0，解得z2=0，令x2=1，y2=−1，得n2=(1,−1,0)，
由二面角P−BD−Q的余弦值为 33，得csn1,n2=|2λ−2| 6λ2−4λ+2⋅ 2= 33，
即|λ−1| 3λ2−2λ+1= 33，整理得2λ−1=0，解得λ=12，
所以PQPC=12．

18.解：(1)当a=1时，函数f(x)=ex+1−x，求导得f′(x)=ex−1，
设函数f(x)的图象过点(0,1)的切线的切点为(t,et+1−t)，
显然点(0,1)不在函数f(x)的图象上，则et+1−t−1t−0=f′(t)=et−1，解得t=1，
则切点为(1,e)，k切=f′(1)=e−1，故所求切线方程为(e−1)x−y+1=0．
(2)函数f(x)=a(ex+a)−x的定义域为R，求导得f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)0时，由f′(x)=0，得x=ln1a=−lna，
当x< −lna时，f′(x) −lna时，f′(x)>0，则函数f(x)在(−lna,+∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递减；
当a>0时，函数f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增．
(3)由(2)知，当a>0时，f(x)的最小值f(x)min=f(ln1a)=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，只需证1+a2+lna>2lna+32，只需证a2−lna−12>0，
设g(a)=a2−lna−12,a>0，求导得g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
当00，g(a)在( 22,+∞)上单调递增，
函数g(a)在a= 22处取最小值，g(a)min=g( 22)=12−ln 22−12=ln 2>0，
因此a2−lna−12>0，故f(x)>2lna+32得证．

19.解：(1)因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1,5，所以φ(6)=2,
因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1,3,7,9，所以φ(10)=4,
正偶数与2n不互素，所有正奇数与2n互素，比2n小的正奇数有2n−1个，所以φ2n=2n−1；
(2)所有不超过正整数3n的正整数有3n个，其中与3n不互素的正整数有1×3，2×3，3×3，⋅⋅⋅，3n−1×3，共3n−1个，
所以所有不超过正整数3n，且与3n互素的正整数的个数为3n−3n−1=2×3n−1个，
即φ3n=2×3n−1，an=12n⋅φ3n=n×3n−1
Sn=1×30+2×31+3×32+⋯+(n−1)×3n−2+n×3n−1,
3Sn=1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)×3n−1+n×3n,
两式相减得
−2Sn=1+31+32+33+⋯+3n−1−n×3n=123n−1−n×3n,
Sn=14(2n−1)3n+14,
(3)由(2)可知4Sn−12n−1=(2n−1)3n+1−12n−1=3n
Tn=31−3n1−3=32×3n−32，
λ⋅Tn+32−2n+3≥0得λ≥23×2n−33n恒成立，
令bn=23×2n−33n，
则bn+1−bn=23×2n−13n+1−23×2n−33n=23×−4n+83n+1，
可得b2>b1；当n>2时，bn+1