2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数2i−(1−i)2(其中i为虚数单位)的虚部为( )
A. 0B. 2C. 4D. 4i
2.从小到大排列的一组数据：80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为( )
A. 88B. 90C. 123D. 126
3.已知空间向量a,b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，则|a+3b|=( )
A. 43B. 2 5C. 7D. 7
4.下列直线中，倾斜角最大的是( )
A. 3x+y+1=0B. 3x−y+1=0C. x+y+1=0D. x+ 3y+1=0
5.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(0,−2)，B(0,2)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A. x2+y2=4B. x2+y2=4(x≠2且x≠−2)
C. x2+y2=4(x≠±2且y≠±2)D. x2+y2=4(y≠−2且y≠2)
6.椭圆x225+y29=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为( )
A. 20B. 18C. 16D. 14
7.甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同色球的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
8.如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线l：bx−ay=0的垂线交l于点M，连接MF2交C于点N，若cs∠F1NF2=−35，则C的离心率为( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线y=kx+k与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，则k的值可以是( )
A. −1B. 2C. 1D. 0
10.若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则( )
A. 数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为20
B. i=110xi=20
C. 数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27
D. i=110xi2=70
11.已知A(0,4)，B(−3,0)，C(3,0)点P满足|PB|−|PC|=4.则( )
A. 点P的轨迹为双曲线B. 直线x+y=0上存在满足题意的点P
C. 满足|PA|=83的点P共有0个D. △PAB的周长的取值范围是[14,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A，B为抛物线y2=2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为 ．
13.某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为 ．
14.已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1⊥PF2，若C1和C2的离心率分别为e1，e2，则1e1+1e2的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C过点M(2,0)和点N(1,−1)，且圆心C在直线l1：x−y−3=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2：x+2y−1=0与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．
16.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M与焦点的距离为4，点M到x轴的距离为 3p．
(1)求C的方程；
(2)点P为C的准线上一动点，直线PO(O为坐标原点)与C交于另一点A，过点P作y轴的垂线与C交于点B.若∠AOB=2π3，求△AOB的面积．
17.(本小题15分)
某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如图频率分布直方图.如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1．
(1)求x的值；
(2)估计该校学生视力的平均值；
(3)用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM/​/平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1．
(ⅰ)求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值；
(ⅱ)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C的离心率为2.设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线AP、AQ分别交直线x=12于M、N两点，证明：MF2⋅NF2为定值；
(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由2i−(1−i)2=2i−(−2i)=4i，其虚部为4．
故选：C．
利用复数的乘方运算求出该复数，即得其虚部．
本题主要考查复数的概念，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：数据共有8个，且已从小到大排序，
8×25%=2，
故这组数据的下四分位数为86+902=88．
故选：A．
根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
本题主要考查百分位数的概念，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：空间向量a,b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，
则a⋅b=|a|⋅|b|cs〈a,b〉=1×2cs60°=1，
因|a+3b|2=(a+3b)2=|a|2+6a⋅b+9|b|2=1+6+9×22=43，
故|a+3b|= 43．
故选：A．
先利用向量数量积的定义式求出a⋅b，再由向量数量积的运算律即可求得答案．
本题主要考查向量模公式，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，由 3x+y+1=0可得斜率为k1=− 3，倾斜角为α1=120°；
对于B，由 3x−y+1=0可得斜率为k2= 3，倾斜角为α2=60°；
对于C，由x+y+1=0可得斜率为k3=−1，倾斜角为α3=135°；
对于D，由x+ 3y+1=0可得斜率为k4=− 33，倾斜角为α4=150°．
因150°>135°>120°>60°，故倾斜角最大的直线为x+ 3y+1=0．
故选：D．
根据各直线的方程求出其斜率，进而求得其倾斜角后比较即得．
本题主要考查直线的倾斜角，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：设点C(x,y)，因为Rt△ABC的斜边为AB，且A(0,−2)，B(0,2)，
所以AC⊥BC，
所以AC⋅BC=(x,y+2)⋅(x,y−2)=x2+(y+2)(y−2)=0，
整理得x2+y2=4，
因当x=0时，y=±2，此时两点(0,2)，(0,−2)恰分别与点A，B重合，故不合题意，应舍去．
所以所求轨迹方程为x2+y2=4(y≠−2且y≠2)．
故选：D．
设点C(x,y)，利用Rt△ABC的斜边为AB推得AC⊥BC，借助于向量数量积的坐标运算由AC⋅BC=0即得轨迹方程，去除不合题意的点即可．
本题考查动点轨迹问题的求解，属中档题．
6.【答案】B
【解析】解：椭圆x225+y29=1的左右焦点分别为F1，F2，a=5，b=3，c=4，
点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为：2a+2c=18．
故选：B．
利用椭圆的定义转化求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
7.【答案】B
【解析】解：从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同为红色球的概率为412×612=13×12=16，
取到同为白色球的概率为812×612=12×23=13，
故取到同色球的概率为13+16=12．
故选：B．
由已知结合相互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式可求．
本题主要考查了互斥事件的概率公式及相互独立事件的概率公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则|F1F2|=2c，则|MF2|=|bc−0| a2+b2=bcc=b,|OM|= |OF2|2−|MF2|2=a，
从而sin∠NF2F1=ac，
由正弦定理，得2c45=|NF1|ac，所以|NF1|=5a2,|NF2|=|NF1|−2a=a2，
由余弦定理，得4c2=25a24+a24−2⋅5a2⋅a2×(−35)，化简得c= 2a，
所以e=ca= 2．
故选：A．
由点到直线的距离公式和勾股定理可得sin∠NF2F1=ac，再由正弦定理和双曲线的定义可得|NF1|，|NF2|，然后由余弦定理结合离心率的定义可得结果．
本题直线与双曲线的综合应用，双曲线的离心率的求法，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：因为直线经过定点A(−1,0)，
而该点恰在抛物线的对称轴y=0上，故k=0时，两者有且仅有一个公共点；
联立y=kx+ky2=4x，可得k2x2+2(k2−2)x+k2=0，
由Δ=4(k2−2)2−4k4=−16k2+16=0，可得k=±1．
此时直线方程为y=x+1与y=−x−1，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点．
故k的值可以是0，±1．
故选：ACD．
先判断直线经过定点A(−1,0)，结合图象可得k=0时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得k=±1．
本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为3×2+2=8，A错误；
对于B，数据x1，x2，…，x10的平均数为2，则i=110xi=10×2=10，B正确；
对于C，数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差S2=2×32=18，C正确；
对于D，数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则有110(x12+x22+……+x102)−x−2=3，变形可得i=110xi2=70，D正确；
故选：BCD．
根据题意，利用平均数与方差的计算公式以及运算性质，依次判断四个选项是否正确，即可得答案．
本题考查特征数的理解与应用，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式和性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由于C(3,0)，B(−3,0)，|PB|−|PC|=40．
根据点M到x轴的距离为 3p，那么可得|y0|= 3p，
又y02=2px0，则3p2=2p(4−p2)，解得p=2，
所以抛物线C为y2=4x；
(2)不妨设点P在第二象限，可设P(−1,t)，t>0，那么lOP：y=−tx，
将其与y2=4x联立，解得xA=4t2，代入y=−tx，那么可得yA=−4t，即得A(4t2,−4t)，
又因为PB⊥y轴，且点B在抛物线上，因此yB=t，代入y2=4x，可得xB=t24，即得B(t24,t)，
那么OA=(4t2,−4t),OB=(t24,t)，根据OA⋅OB=4t2⋅t24−4t⋅t=−3，
又OA⋅OB=|OA|⋅|OB|cs2π3=−12|OA|⋅|OB|，那么可得|OA|⋅|OB|=6，
因此S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin2π3= 34×6=3 32．
(1)设点M(x0,y0)，利用抛物线的焦半径公式结合题设条件列出方程求出p的值，即得抛物线的方程；
(2)设P(−1,t)，t>0，利用题设条件求出A(4t2,−4t)与B(t24,t)，利用向量数量积的定义与坐标公式计算求得|OA|⋅|OB|=6，根据三角形面积公式计算即可．
本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为从左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1，
故直方图中从左到右各组频率依次为0.2，0.2，0.3，0.2，0.1，
故x=1．
(2)设该校学生视力平均值为x−，
则x−=0.3×0.2+0.5×0.2+0.7×0.3+0.9×0.2+1.1×0.1=0.66．
(3)由第3组至第5组的频率比为3：2：1得，从第3组抽取的人数为3人，记为a1，a2，a3，
从第4组抽取的人数为2人，记为b1，b2；从第5组抽取的人数为1人，记为c1，
随机抽取两名学生的情况有15种，分别为：
(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c1)，
(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,c1)，(b1,b2)，(b1,c1)，(b2,c1)，
其中视力不低于0.8的有(b1,b2)，(b1,c1)，(b2,c1)共3种，
故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，
抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为P=315=15．
【解析】(1)从左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1，从而直方图中从左到右各组频率依次为0.2，0.2，0.3，0.2，0.1，由此能求出x．
(2)由频率分布直方图能求出该校学生视力平均值．
(3)由第3组至第5组的频率比为3：2：1得，从第3组抽取的人数为3人，记为a1，a2，a3，从第4组抽取的人数为2人，记为b1，b2；从第5组抽取的人数为1人，记为c1，随机抽取两名学生，利用列举法能求出从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率．
本题考查频率、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，
∵M为棱PC的中点，
∴MN/​/CD，MN=12CD，
∵AB/​/CD，AB=12CD，
∴AB/​/MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM/​/AN，
又BM⊄平面PAD，MN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD．
(2)解：∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，
∴PD⊥CD，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，
而AD⊥CD，
故以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AB=12CD=AD=1
∴P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，
∵M为棱PC的中点，
∴M(0,1,12)，
(ⅰ)∵DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)，
设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，
令z=2，则y=−1，x=1，
∴n=(1,−1,2)，
易知平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，
∴cs=n⋅DA|n|⋅|DA|=11× 6= 66，
∴平面PDM与平面BDM夹角的余弦值为 66．
(ⅱ)假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69，
设PQ=λPA,0