四川省成都市新都区润德英才学校2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案）

这是一份四川省成都市新都区润德英才学校2026届高三上学期9月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A= x−11，若∀x∈(0,+∞)，ax>lgaax恒成立，则a的取值范围是( )
A. (e1e,+∞)B. (ee,+∞)C. (1,e1e)D. (1,ee)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法抽取足够样本后对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表后，经计算得到χ2≈4.881，则可以认为( )
A. 根据小概率值α=0.05的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.05=3.841)，两种疗法的效果没有差异
B. 根据小概率值α=0.05的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.05=3.841)，两种疗法的效果存在差异
C. 根据小概率值α=0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，两种疗法的效果没有差异
D. 根据小概率值α=0.005的独立性检验(已知χ2独立性检验中x0.005=7.879)，两种疗法的效果存在差异
10.已知函数f(x)x∈R是奇函数且R上可导，f(1)=2且f(x+2)=f(−x)，则下列说法正确的是( )
A. f(2025)=2B. 函数f′(x)为偶函数
C. f′(1)=1D. 函数f′(x)的周期为4
11.已知函数f(x)=λsinπ2x+φ(λ>0,00，且ab=2，则1a+4b的最小值为 ．
13.已知函数f(x)=ex−e−x，若f(m)=4，则f(−m)=
14.已知编号为1，2的两个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球；2号盒子内装有两个1号球，一个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到2号球的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(1,x−1)，b=(2,3)．
(1)若b⊥(a+b)，求x的值；
(2)若向量c=(1,2)，b//a+c，求a与b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=13ax3−12(a+1)x2+x+1(a≥1).
(1)若a=3，求曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程;
(2)求f(x)在R上的极值．
17.(本小题15分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD,∠DAB=90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF//AD，AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°．
(1)证明：A′B//平面CD′F；
(2)求面BCD′与面EFD′A′所成的二面角的正弦值．
18.(本小题17分)
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复．(提示：设An表示第n天选择绿豆汤)
(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
(3)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn，求出Pn的通项公式．
19.(本小题17分)
已知三次函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d∈R)过点(3,0)，且函数f(x)在点0,f(0)处的切线恰好是直线y=0．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的极值；
(3)设函数g(x)=9x+m−1，若函数y=f(x)−g(x)在区间[−2,1]上有两个零点，求实数m的取值范围．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.B
5.A
6.C
7.B
8.A
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.2 2
13.−4
14.718
15.【详解】(1)因为a=(1,x−1)，b=(2,3)，
所以a+b=(3,x+2)，
因为b⊥a+b，b=(2,3)，a+b=(3,x+2)，
所以2×3+3(x+2)=0，
所以x=−4，
所以x的值为−4，
(2)因为a=(1,x−1)，c=(1,2)，
所以a+c=(2,x+1)，
因为b//a+c，b=(2,3)，a+c=(2,x+1)，
所以2(x+1)=2×3，
所以x=2，
所以a=(1,1)，又b=(2,3)，
所以a⋅b=1×2+1×3=5，a= 2，b= 4+9= 13，
所以csa,b=a⋅bab=5 2× 13=5 2626，
所以a与b的夹角的余弦值为5 2626．

16.【详解】(1)当a=3，f(x)=x3−2x2+x+1，
所以f′(x)=3x2−4x+1，f(1)=1，f′(1)=0，
所以曲线y=f(x)在点1,f(1)处的切线方程为y=1；
(2)f′(x)=ax2−(a+1)x+1=(x−1)(ax−1)，a≥1，
当a=1时，f′(x)=(x−1)2≥0，所以f(x)单调递增，无极值；
当a>1时，f′(x)=0，得x=1或x=1a，1a1时，有极大值−16a2+12a+1，有极小值9−a6．

17.【详解】(1)设AD=1，所以AB=3,CD=2，因为F为CD中点，所以DF=1，因为EF//AD，AB//CD，所以AEFD是平行四边形，所以AE//DF，所以A′E//D′F，
因为D′F⊂平面CD′F,A′E⊄平面CD′F，所以A′E//平面CD′F，
因为FC//EB,FC⊂平面CD′F,EB⊄平面CD′F，所以EB//平面CD′F，
又EB∩A′E=E，EB,A′E⊂平面A′EB，所以平面A′EB//平面CD′F，
又A′B⊂平面A′EB，所以A′B//平面CD′F．
(2)
因为∠DAB=90°，所以AD⊥AB，又因为AB//FC,EF//AD，所以EF⊥FC，
以F为原点，FE,FC以及垂直于平面BECF的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系．
因为D′F⊥EF,CF⊥EF，平面EFD′A′与平面EFCB所成二面角为60°，
所以∠D′FC=60°．
则B(1,2,0)，C(0,1,0)，D′0,12, 32，E(1,0,0)，F(0,0,0)，.
所以BC=(−1,−1,0),CD′=0,−12, 32,FE=(1,0,0),FD′=0,12, 32．
设平面BCD′的法向量为n=(x,y,z)，则
BC·n=0CD′·n=0，所以−12y+ 32z=0−x−y=0，令y= 3，则z=1,x=− 3，则n=− 3, 3,1．
设平面EFD′A′的法向量为m=x1,y1,z1，
则FE·m=0FD′·m=0，所以12y+ 32z=0x=0,
令y= 3，则z=−1,x=0，所以m=0, 3,−1．
所以csm,n=m·nm|n|=0+3−1 3+3+1× 1+3=1 7．
所以平面BCD′与平面EFD′A′夹角的正弦值为 1−1 72= 427．

18.【详解】(1)该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为23×13=29；
(2)设A1表示第1天选择绿豆汤，A2表示第2天选择绿豆汤，则A1表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，PA1=23,PA1=13,PA2|A1=13,PA2|A1=1−12=12，
所以PA2=PA1PA2|A1+PA1PA2|A1=23×13+13×12=718．
(3)设An表示第n天选择绿豆汤，则Pn=PAn,PAn=1−Pn，
根据题意得，PAn+1|An=13,PAn+1|An=1−12=12，
由全概率公式得，PAn+1=PAnPAn+1|An+PAnPAn+1|An=13Pn+121−Pn=−16Pn+12，
即Pn+1=−16Pn+12，整理得，Pn+1−37=−16Pn−37，又P1−37=521≠0，
所以Pn−37是以521为首项，−16为公比的等比数列．
所以Pn−37=521×(−16)n−1，所以Pn=521×(−16)n−1+37..
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件AB与AB的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键．

19.【详解】(1)f(x)=x3+bx2+cx+d⇒f′(x)=3x2+2bx+c，
由题意知：f(3)=27+9b+3c+d=0f′(0)=c=0f(0)=d=0⇒b=−3c=0d=0⇒f(x)=x3−3x2 ；
(2)由f(x)定义域为R，f′(x)=3x2−6x，令f′(x)=0，得x=0或x=2
当x变化时，f′(x)、f(x)变化如下：
当x=0时，f(x)取得极大值f(0)=0，
当x=2时，f(x)取得极小值f(2)=−4；
(3)令y=f(x)−g(x)=0⇒m=x3−3x2−9x+1，
设ℎ(x)=x3−3x2−9x+1⇒ℎ′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，
当x∈[−2,−1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)在[−2,−1)上单调递增，
当x∈(−1,1]时，ℎ′(x)