2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川省成都市润德英才学校高二（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数2i−(1−i)2(其中i为虚数单位)的虚部为( )
A. 0B. 2C. 4D. 4i
2.从小到大排列的一组数据：80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为( )
A. 88B. 90C. 123D. 126
3.已知空间向量a,b的夹角为60°，且|a|=1,|b|=2，则|a+3b|=( )
A. 43B. 2 5C. 7D. 7
4.下列直线中，倾斜角最大的是( )
A. 3x+y+1=0B. 3x−y+1=0C. x+y+1=0D. x+ 3y+1=0
5.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(0,−2)，B(0,2)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A. x2+y2=4B. x2+y2=4(x≠2且x≠−2)
C. x2+y2=4(x≠±2且y≠±2)D. x2+y2=4(y≠−2且y≠2)
6.椭圆x225+y29=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则△PF1F2的周长为( )
A. 20B. 18C. 16D. 14
7.甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同色球的概率为( )
A. 13B. 12C. 23D. 34
8.如图，已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作渐近线l：bx−ay=0的垂线交l于点M，连接MF2交C于点N，若cs∠F1NF2=−35，则C的离心率为( )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线y=kx+k与抛物线y2=4x有且只有一个公共点，则k的值可以是( )
A. −1B. 2C. 1D. 0
10.若数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，则( )
A. 数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的平均数为20
B. i=110xi=20
C. 数据3x1+2，3x2+2，…，3x10+2的方差为27
D. i=110xi2=70
11.已知A(0,4)，B(−3,0)，C(3,0)点P满足|PB|−|PC|=4.则( )
A. 点P的轨迹为双曲线B. 直线x+y=0上存在满足题意的点P
C. 满足|PA|=83的点P共有0个D. △PAB的周长的取值范围是[14,+∞)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A，B为抛物线y2=2x上两点，且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为 ．
13.某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为 ．
14.已知F1，F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且PF1⊥PF2，若C1和C2的离心率分别为e1，e2，则1e1+1e2的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C过点M(2,0)和点N(1,−1)，且圆心C在直线l1：x−y−3=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l2：x+2y−1=0与圆C相交于A，B两点，求|AB|的值．
16.(本小题15分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M与焦点的距离为4，点M到x轴的距离为 3p．
(1)求C的方程；
(2)点P为C的准线上一动点，直线PO(O为坐标原点)与C交于另一点A，过点P作y轴的垂线与C交于点B.若∠AOB=2π3，求△AOB的面积．
17.(本小题15分)
某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如图频率分布直方图.如图所示.从左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1．
(1)求x的值；
(2)估计该校学生视力的平均值；
(3)用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM/​/平面PAD；
(2)若PC= 5，PD=1．
(ⅰ)求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值；
(ⅱ)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A是C的左顶点，C的离心率为2.设过F2的直线l交C的右支于P、Q两点，其中P在第一象限．
(1)求C的标准方程；
(2)若直线AP、AQ分别交直线x=12于M、N两点，证明：MF2⋅NF2为定值；
(3)是否存在常数λ，使得∠PF2A=λ∠PAF2恒成立？若存在，求出λ的值；否则，说明理由．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.D
6.B
7.B
8.A
9.ACD
10.BCD
11.BCD
12.12
13.8
14.( 2,2)
15.解：(1)根据圆心C在直线l1：x−y−3=0上，设C(a,a−3)，
结合|CM|=|CN|，可得 (a−2)2+(a−3)2= (a−1)2+(a−2)2，解得a=2，
所以圆心C的坐标为(2,−1)，半径r=|CM|=1，可得圆的C：(x−2)2+(y+1)2=1；
(2)圆心C(2,−1)到直线l2：x+2y−1=0的距离d=|2+2×(−1)−1| 12+22= 55，
所以直线l2被圆C截得的弦长|AB|=2 r2−d2=2 1−15=4 55．
16.解：(1)设点M(x0,y0)，
因为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点M与焦点的距离为4，点M到x轴的距离为 3p．
所以|MF|=x0+p2=4，那么可得x0=4−p2，p>0．
根据点M到x轴的距离为 3p，那么可得|y0|= 3p，
又y02=2px0，则3p2=2p(4−p2)，解得p=2，
所以抛物线C为y2=4x；
(2)不妨设点P在第二象限，可设P(−1,t)，t>0，那么lOP：y=−tx，
将其与y2=4x联立，解得xA=4t2，代入y=−tx，那么可得yA=−4t，即得A(4t2,−4t)，
又因为PB⊥y轴，且点B在抛物线上，因此yB=t，代入y2=4x，可得xB=t24，即得B(t24,t)，
那么OA=(4t2,−4t),OB=(t24,t)，根据OA⋅OB=4t2⋅t24−4t⋅t=−3，
又OA⋅OB=|OA|⋅|OB|cs2π3=−12|OA|⋅|OB|，那么可得|OA|⋅|OB|=6，
因此S△AOB=12|OA|⋅|OB|sin2π3= 34×6=3 32．
17.解：(1)因为从左至右五个小组的频率之比依次是2：2：3：2：1，
故直方图中从左到右各组频率依次为0.2，0.2，0.3，0.2，0.1，
故x=1．
(2)设该校学生视力平均值为x−，
则x−=0.3×0.2+0.5×0.2+0.7×0.3+0.9×0.2+1.1×0.1=0.66．
(3)由第3组至第5组的频率比为3：2：1得，从第3组抽取的人数为3人，记为a1，a2，a3，
从第4组抽取的人数为2人，记为b1，b2；从第5组抽取的人数为1人，记为c1，
随机抽取两名学生的情况有15种，分别为：
(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,c1)，(a2,a3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,c1)，
(a3,b1)，(a3,b2)，(a3,c1)，(b1,b2)，(b1,c1)，(b2,c1)，
其中视力不低于0.8的有(b1,b2)，(b1,c1)，(b2,c1)共3种，
故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，
抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为P=315=15．
18.(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN，
∵M为棱PC的中点，
∴MN//CD，MN=12CD，
∵AB//CD，AB=12CD，
∴AB//MN，AB=MN，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM//AN，
又BM⊄平面PAD，MN⊂平面PAD，
∴BM//平面PAD．
(2)解：∵PC= 5，PD=1，CD=2，
∴PC2=PD2+CD2，
∴PD⊥CD，
∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PD⊂平面PDC，
∴PD⊥平面ABCD，
又AD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD，
而AD⊥CD，
故以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AB=12CD=AD=1
∴P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，B(1,1,0)，
∵M为棱PC的中点，
∴M(0,1,12)，
(ⅰ)∵DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)，
设平面BDM的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅DM=y+12z=0n⋅DB=x+y=0，
令z=2，则y=−1，x=1，
∴n=(1,−1,2)，
易知平面PDM的一个法向量为DA=(1,0,0)，
∴cs=n⋅DA|n|⋅|DA|=11× 6= 66，
∴平面PDM与平面BDM夹角的余弦值为 66．
(ⅱ)假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是2 69，
设PQ=λPA,0