2024-2025学年四川省眉山育英实验学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省眉山育英实验学校高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆C：x24+y22=1，则椭圆的焦距为( )
A. 2B. 2 2C. 6D. 2 6
2.过点(−3,2)，且与直线x+2y−3=0平行的直线方程是( )
A. 2x−y+3=0B. 2x−y+5=0C. x+2y−4=0D. x+2y−1=0
3.如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设AB=a，AD=b，AA1=c，则下列向量中与C1M相等的向量是( )
A. −12a+12b+c
B. 12a+12b+c
C. −12a−12b−c
D. −12a−12b+c
4.若方程x2+y2−2x+2y−m=0表示圆，则m的取值范围为( )
A. m>2B. m>−2C. m0)的一条渐近线方程是y=− 33x，实轴长为2 3，则双曲线C的标准方程为( )
A. x23−y2=1B. x22−y2=1C. x23−y22=1D. x22−y23=1
6.已知椭圆C：x216+y24=1，从C上任意一点P向y轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A. x264+y24=1(x≠0)B. x232+y28=1(x≠0)
C. x2+y2=4(x≠0)D. x2+y2=8(x≠0)
7.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，AA1的中点，则点F到直线BE的距离为( )
A. 6 B. 4
C. 2 D. 1
8.2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号A(01)、B(01)、B(02)卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号A(01)卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号A(01)卫星运行的轨迹方程可为( )
A. x29+y28=1B. x29+y216=1
C. x21.352+y23.352=1D. x23.52+y21.22=1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：x29−y2=1，则下列说法正确的是( )
A. 双曲线实轴长为6B. 双曲线虚轴长为1
C. 双曲线离心率为2 23D. 双曲线焦点到渐近线的距离为1
10.直线l的方向向量为a，平面α的法向量n，则下列命题为真命题的是( )
A. 若a⊥n,且l⊄α，则直线l//平面α
B. 若a//n，则直线l⊥平面α
C. 若cs〈a,n〉=12，则直线l与平面α所成角的大小为π3
D. 若sin〈a,n〉=12，则直线l与平面α所成角的大小为π3
11.已知圆C1：x2+y2−2y−8=0，圆C2：x2−2mx+y2+m2−4=0，直线l：tx+y−2t−1=0，直线l与圆C1相交于A，B两点，则以下选项正确的是( )
A. 若m=0时，圆C1与圆C2相交
B. 若m=2时，两圆公共弦所在直线的方程为2x−y−4=0
C. 弦长|AB|的最小值为2 5
D. 若点P(2,4)，则|PA+PB|的最大值为2 10+2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线m：(a+2)x+ay+3=0，n：ax+2y−4=0，若m⊥n，则实数a= ______．
13.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为______．
14.已知双曲线x2a2−y2b2=1与直线y=x−1相交于A，B两点，其中AB中点的横坐标为−23，则该双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知圆M过C(1,−1)，D(−1,1)两点，且圆心M在x+y+2=0上．
(1)求线段CD的垂直平分线l的方程；
(2)求圆M的标准方程．
16.(本小题12分)
国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求这200人年龄的平均数(同一组数据用该组所在区间的中点值作代表)和75%分位数；
(2)现要从年龄在[25,35)与[55,65]的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从[25,35)中至少抽到2人进行问卷调查的概率．
17.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是棱BC，PD的中点．
(1)证明：CF//平面PAE：
(2)若PA⊥平面ABCD，且AB=1，AD=AP=2，求二面角F−AE−D的余弦值．
18.(本小题12分)
已知F1(−2,0)，F2(2,0)，点P满足||PF1|−|PF2||=2，记点P的轨迹为E．
(1)求轨迹E的方程；
(2)当∠F1PF2=π3时，求△PF1F2的面积．
(3)求PF1⋅PF2的取值范围．
19.(本小题12分)
设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，且过点( 2, 62)，离心率为12．
(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线l与坐标轴不垂直，l与曲线E交于不同的M，N两点，且直线F2M和F2N的斜率互为相反数．
①证明：动直线l恒过x轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求△OMN面积的最大值．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.B
5.A
6.C
7.D
8.A
9.AD
10.ABD
11.BCD
12.0或−4

14. 142
15.解：(1)C(1,−1)，D(−1,1)，
因为CD的中点坐标为 (0,0)，CD=(−2,2)，
所以线段CD的垂直平分线l的方程的点法式方程为−2⋅(x−0)+2⋅(y−0)=0，
即x−y=0；
(2)由题意，因为圆心M在x+y+2=0上，所以可设M(t,−2−t)，
设圆M的半径为r，
又圆M过C(1,−1)，D(−1,1)两点，
所以(t−1)2+(−2−t+1)2=r2(t+1)2+(−2−t−1)2=r2，解得t=−1r=2，则圆心为M(−1,−1)，
所以圆M的方程为(x+1)2+(y+1)2=4．
16.解：(1)平均数为(20×0.01+30×0.015+40×0.035+50×0.03+60×0.01)×10=41.5．
前四个矩形的面积之和为0.6+0.3=0.9，前三个矩形的面积之和为0.1+0.15+0.35=0.6，
设75%分位数为x，则x∈[45,55)．
且10×0.01+10×0.015+10×0.035+(x−45)×0.03=0.75，
解得x=50，即75%分位数为50．
(2)年龄在[25,35)和[55,65]这两组的人数分别为30、20，
则年龄在[25,35)的应抽取3人，设为1、2、3，
年龄在[55,65]的应抽取2人设为a、b，
从5人中任选3人，基本事件有：
(1,a,b)、(2,3,a)、(2,3,b)、(2,a,b)、(3,a,b)，
(1,2,3)、(1,2,a)、(1,2,b)、(1,3,a)、(1,3,b)、
共10个基本事件，
年龄在[25,35)中至少抽到2人所包含的基本事件有：(1,2,3)、(1,2,a)、(1,2,b)、(1,3,a)、(1,3,b)、(2,3,a)、(2,3,b)，共7个基本事件
设“从这5人中任选3人，年龄在[25,35)内的至少有2人”为事件A，则P(A)=710．
17.解：(1)证明：如图，取PA中点G，连接FG，EG，因为点F为PD中点，
所以FG/​/AD且PG=12AD，
又因为四边形ABCD为矩形，E为BC的中点，
所以EC/​/AD且EC=12AD，
所以FG//EC且FG=EC，
故四边形FGEC为平行四边形，所以CF/​/EG，
又因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，
所以CF/​/平面PAE．

(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，F(0,1,1)，E(1,1,0)，
所以AE=(1,1,0)，AF=(0,1,1)，设平面FAE的一个法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AE=0m⋅AF=0，即x+y=0y+z=0，
令x=1，得m=(1,−1,1)，
由于z轴⊥平面DAE，则平面DAE的一个法向量为n=(0,0,1)，
显然二面角F−AE−D为锐二面角，设其二面角的平面角为θ，
则csθ=|m⋅n||m|⋅|n|=1 3×1= 33，
所以二面角F−AE−D的余弦值为 33．
18.解：(1)因为F1(−2,0)，F2(2,0)，点P满足||PF1|−|PF2||=2，记点P的轨迹为E，
所以||PF1|−|PF2||=20，
解得m2>4，
因为y1+y2=−24m3m2+4，y1y2=363m2+4，
又S△OMN=S△OTN−S△OTM=12|OT|⋅|y1−y2|=12×4× (y1−y2)2−4y1y2
=2 (−24m3m2+4)2−4×363m2+4=24 m2−4(3m2+4)2，
令n=m2−4>0，
可得m2=n+4，
此时S△OMN=24 n(3n+16)2≤24 n(2× 3n⋅16)2=24 n4×3n×16= 3，
当且仅当3n=16时，等号成立．
所以(S△OMN)max= 3．